Question

【題目】如圖，已知線段AB＝2，MN⊥AB于點M，且AM＝BM，P是射線MN上一動點，E，D分別是PA，PB的中點，過點A，M，D的圓與BP的另一交點C(點C在線段BD上)，與MN的另一個交點R，連結AC，DE．

(1)當∠APB＝28°時，求∠B的度數和弧CM的度數．

(2)求證：AC＝AB．

(3)若MP=4，點P為射線MN上的一個動點，

①求MR的值

②在點P的運動過程中，取四邊形ACDE一邊的兩端點和線段MP上一點Q，若以這三點為頂點的三角形是直角三角形，且Q為銳角頂點，求此時所有滿足條件的MQ的值．

Answer 1

【答案】(1)∠B=76°，=56°；(2)證明見解析；(3)①MR=；②MQ的值為或或.

【解析】

（1）連接MD，結合垂直平分線的性質與等腰三角形性質結合三角形內角和定理，中位線定理求解即可；
（2）求證∠ABC=∠ACB即可；
（3）①連接CR，AR，結合勾股定理求解即可；②分為當∠ACQ=90°時；當∠QCD=90°時；當∠QDC=90°時；當∠AEQ=90°時，分類討論即可．

解：(1)∵MN⊥AB，AM=BM，

∴PA=PB，

∴∠PAB=∠B，

∵∠APB=28°，

∴∠B=76°，

如圖1，連接MD，

∵MD為△PAB的中位線，

∴MD∥AP，

∴∠MDB=∠APB=28°，

∴=2∠MDB=56°；

(2)∵∠BAC=∠MDC=∠APB，

又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，

∴∠BAP=∠ACB，

∵∠BAP=∠B，

∴∠ACB=∠B，

∴AC=AB；

(3)①如圖2，記MP與圓的另一個交點為R，

∵MD是Rt△MBP的中線，

∴DM=DP，

∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，

∴RC=RP，

∵∠ACR=∠AMR=90°，

∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，

∴12+MR2=22+PR2，

∴12+(4﹣PR)2=22+PR2，

∴PR=，

∴MR=，

②Ⅰ．當∠ACQ=90°時，AQ為圓的直徑，

∴Q與R重合，

∴MQ=MR=；

Ⅱ．如圖3，當∠QCD=90°時，

在Rt△QCP中，PQ=2PR=，

∴MQ=；

Ⅲ．如圖4，當∠QDC=90°時，

∵BM=1，MP=4，

∴BP=，

∴DP=BP=，

∵cos∠MPB=，

∴PQ=，

∴MQ=；

Ⅳ．如圖5，當∠AEQ=90°時，

由對稱性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，

∴MQ=；

綜上所述，MQ的值為或或.