Question

【題目】對于任意一個三位數，將它任意兩個數位上的數字對調后得到一個首位不為0的新的三位數（可以與相同），記，在所有可能的情況中，當最小時，我們稱此時的是的“平安快樂數”，并規定.例如：318按上述方法可得新數381、813、138，因為，，，而，所以138是318的“平安快樂數”，此時.

（1）168的“平安快樂數”為_______________，______________；

（2）若（，都是正整數），交換其十位與百位上的數字得到新數，當是13的倍數時，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）861，-7；（2）73

【解析】

（1）根據題意，寫任意兩個數位上的數字對調后得到的所有新數，然后計算每個數中|a-2b+c|的值，確定最小為“平安快樂數”，再由K（p）=a2-2b2+c2公式進行計算便可；
（2）根據題意找出m、n，根據“1≤x≤y≤9”即可得出x、y的可能值，進而可找出m的“平安快樂數”和K（n）的值，取其最大值即可．

解：（1）168任意兩個數位上的數字對調后得到的新三位數是618，186，861

｜62×1+8｜＝12，｜12×8+6｜＝9，｜82×6+1｜=3，

∵3＜6＜12
∴168的“平安快樂數”為861，
∴K（168）=82-2×62+12=-7

（2）∵m=100x+10y+8（1≤x≤y≤9，x、y都是正整數），交換其十位與百位上的數字得到新數n
∴n=100y+10x+8，

m+n=100x+10y+8+100y+10x+8

=100（x+y）+10（x+y+1）+6

=110（x+y）+16

=105（x+y）+13+5（x+y）+3
∵m+n是13的倍數，又105（x+y）+13是13的倍數，

∴=整數；符合條件的整數只有6，
∴x+y=15，
∵1≤x≤y≤9，x、y都是正整數，

∴n有可能是：878、968，

∵==30，==73，

∴的最大值為：73.