Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與軸的一個交點為點，與軸的交點為點，拋物線的對稱軸與軸交于點，與線段交于點，點是對稱軸上一動點．

（1）點的坐標是________，點的坐標是________；

（2）是否存在點，使得和相似？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，拋物線的對稱軸向右平移與線段交于點，與拋物線交于點，當四邊形是平行四邊形且周長最大時，求出點的橫坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）存在，或；（3）．

【解析】

（1）令x=0，求出y值可得B點坐標，令y=0，求出x值，根據點A在對稱軸右側可得點A坐標；

（2）根據拋物線解析式可求出對稱軸為直線x=，根據A、B坐標可得直線AB的解析式，進而可求出點E坐標，即可求出CE的長，分、、三種情況，分別利用相似三角形的性質求出點D坐標即可得答案；

（3）過點做，設，，可用m表示出FG的長，利用勾股定理可求出AB的長，根據平移的性質可用m表示出FH的長，由平行線的性質可得，即可證明△BOA∽△EHF，根據相似三角形的性質可用m表示出EF的長，即可用m表示出平行四邊形的周長，根據二次函數的性質即可得答案．

（1）令x=0得：y=3，

∴點B坐標為（0，3），

令y=0得：=0，

解得：x1=-1，x2=6，

∵點A在對稱軸右側，

∴點A坐標為（6，0），

故答案為：，

（2）存在，理由如下：

∵拋物線解析式為，

∴對稱軸為直線，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

∵A（6，0），B（0，3）

∴；

解得：，

∴直線的解析式為

∴當時，，即E（，），

∴

①如圖，當時，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

②當時，過點B作BF⊥l于F，

∵，，

∴，

∵對稱軸為直線，

∴，EF=CF-CE=，

∵∠BDF+∠DBF=90°，∠EBF+∠DBF=90°，

∴∠BDF=∠EBF，

∵∠BFD=∠BFE，

∴，

∴，即，

解得：DF=5，

∴CD=CF+DF=3+5=8，

∴．

③當時，不合題意舍去．

綜上所述：或．

（3）過點做，設，，

∴，

∵拋物線的對稱軸向右平移與線段交于點，

∴，

∵OA=6，OB=3，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴△BOA∽△EHF，

∴，即，

∴，

∴，

∵，

∴時平行四邊形周長最大，

∴的橫坐標為．