Question

【題目】如圖，等邊三角形中，是邊的中點，是射線上一點，以為邊作，使得，且，若，則的最小值為_______．

Answer 1

【答案】

【解析】

如下圖，利用∠FEB=90°，可推導出△BED∽△EFG，設DE=x，根據和等邊△ABC的邊長為2，可得BD=1，GE=2，FG=2x，從而可用x表示出GA的長，在Rt△FGA中，利用勾股定理可求得用x表示的FA的長，最后利用二次函數性質，求得最小值

圖下圖，過點F作AD的垂線，交AD的方向延長線于點G．

∵∠BEF=90°

∴∠BED+∠FEG=90°

∵△ABC是正三角形，點D是BC中點，AB=2

∴∠BDA=90°，BD=1，AD=

∴∠EBD+∠BED=90°

∴∠EBD=∠FEG

∵∠BDE=∠FGE=90°

∴△BED∽△EFG

∵，∴

∴

∴EG=2

設DE=x，則AE=，GA=GE－AE=2+x－，FG=2x

∴在Rt△AFG中，

化簡得：

要使AF最短，則只需要最小即可，即最小

令y=，則只需要求解二次函數的最小值即可

拋物線開口向上，頂點處即為最小值

此刻，，

∴結合二次函數的性質可得，

y=

故AF的最小值為：

故答案為：