Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中點，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結論：

（1）∠DCF+∠D=90°；（2）∠AEF+∠ECF=90°；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）若∠B=80°，則∠AEF=50°．

其中一定成立的是_____（把所有正確結論的序號都填在橫線上）

Answer 1

【答案】（1）（2）（4）

【解析】分析：由平行四邊形的性質和等腰三角形的性質得出（1）正確；

由ASA證明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜邊上的中線性質得出CF=EM=EF，由等腰三角形的性質得出∠FEC=∠ECF，得出（2）正確；

證出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出（3）錯誤；

由平行線的性質和互余兩角的關系得出（4）正確；即可得出結論．

詳解：（1）∵F是AD的中點，∴AF=FD．

∵在ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF．

∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=∠BCD，∴∠DCF+∠D=90°，故（1）正確；

（2）延長EF，交CD延長線于M，如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF．

∵F為AD中點，∴AF=FD．在△AEF和△DFM中，∵∠A=∠FDM，AF=DF，∠AFE=∠DFM，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴EF=MF，∠AEF=∠M．

∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°．

∵FM=EF，∴CF=EM=EF，∴∠FEC=∠ECF，

∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故（2）正確；

（3）∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM．

∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故（3）錯誤；

（4）∵∠B=80°，∴∠BCE=90°﹣80°=10°．

∵AB∥CD，∴∠BCD=180°﹣80°=100°，∴∠BCF=∠BCD=50°，∴∠FEC=∠ECF=50°﹣10°=40°，∴∠AEF=90°﹣40°=50°，故（4）正確．

故答案為：（1）（2）（4）．