Question

【題目】如圖①，正方形ABCD中，點A，B的坐標分別為（0，10），（8，4），點C在第一象限．動點P在正方形ABCD的邊上，從點A出發沿A→B→C→D→A勻速運動，同時動點Q以相同的速度在x軸正半軸上運動，當點P到達A點時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．

（1）當P點在邊AB上運動時點Q的橫坐標x（長度單位）關于運動時間t（秒）的函數圖象如圖②所示，請寫出點Q開始運動時的坐標及點P運動速度；

（2）求正方形邊長及頂點C的坐標；
（3）在（1）中，設△OPQ的面積為S，求S與t的函數關系式并寫出自變量的取值范圍．
（4）如果點P、Q保持原速度不變，當點P沿A→B→C→D勻速運動時，OP與PQ能否相等？若能，寫出所有符合條件的t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖①，過B作BF⊥OA于F，

∵A（0，10），

∴OA=10，

∵B（8，4），

∴BF=8，OF=4，

∴AF=10﹣4=6，

∴AB=10，

由圖②知：點P在邊AB上運動時間為10秒，所以速度為：10÷10=1，

Q（1，0），

則點P運動速度為每秒1個單位長度；

（2）

解：如圖③，過B作BF⊥y軸于點F，BE⊥x軸于點E，則BF=8，OF=BE=4，

由（1）知：AF=6，AB=10；

過C作CG⊥x軸于點G，與FB的延長線交于點H，

∵∠ABC=90°，AB=BC，

∴△ABF≌△BCH，

∴BH=AF=6，CH=BF=8，

∴OG=FH=8+6=14，CG=8+4=12，

∴所求C點的坐標為（14，12）；

（3）

解：過點P作PM⊥y軸于點M，PN⊥x軸于點N，

∴PM∥BF，

則△APM∽△ABF，

∴ ，

∴ = = ，

∴AM= ，PM= t，

∴PN=OM=10﹣ t，ON=PM= t，

∴S=S△OPQ= PNOQ

= ×（10﹣ t）（1+t）=﹣ （0≤t≤10）；

（4）

解：OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當P點的橫坐標等于Q點的橫坐標的一半時，滿足條件；

①當P在AB上時，如圖③， t= （t+1），t= ，OP與PQ相等，

②當P在BC上時，如圖④，則PB=t﹣10，

sin∠ABF=sin∠BPM= ，

∴ ，

∴BM= （t﹣10），

∴ON=BF+BM=8+ （t﹣10），

8+ （t﹣10）= （t+1），解得：t=﹣15（舍），

③當P在CD上時，如圖⑤，則PC=t﹣20，

cos∠PCR=cos∠BCH= ，

∴ ，

∴CR=MH= （t﹣20），

∴ON=OG﹣NG=FH﹣MH=14﹣ （t﹣20），

14﹣ （t﹣20）= （t+1），解得：t= ，

即當t= 時，OP=PQ，

綜上所述，當t= 或 時，OP與PQ相等．

【解析】（1）由A和B兩點的坐標求正方形邊長AB，由圖②得：P在邊AB上運動10秒，Q開始運動時，橫坐標為1；（2）由（1）知，正方形邊長為10，根據三角形全等得：BH=AF=6，CH=BF=8，所以可得OG=14，CG=12，寫出C點的坐標；（3）作輔助線，證明△APM∽△ABF，列比例式得：AM= ，PM= t，根據面積公式可得S與t的關系式；（4）OP與PQ相等，組成等腰三角形，即當P點的橫坐標等于Q點的橫坐標的一半；分三種情況進行討論：點P分別在AB、BC、CD上時，根據這一等量關系列式可得t的值．