Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，點F在AC的延長線上，且∠BAC＝2∠CBF．

（1）求證：BF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的直徑為3，sin∠CBF＝，求BC長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．
（2）解直角三角形即可得到結論．

解：（1）證明：連接AE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠1+∠2=90°．
∵AB=AC，
∴2∠1=∠CAB．
∵∠BAC=2∠CBF，
∴∠1=∠CBF
∴∠CBF+∠2=90°
即∠ABF=90°
∵AB是⊙O的直徑，
∴直線BF是⊙O的切線；

（2）解：過點C作CH⊥BF于H．
∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，

∴sin∠1=，

∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=3，
∴BE=ABsin∠1=3×=，

∵AB=AC，∠AEB=90°，
∴BC=2BE=.