Question

【題目】如圖1，在中，點在邊上（點與點不重合），以點為圓心，為半徑作⊙交邊于另一點，，交邊于點．

（1）求證：；

（2）若，求關于的函數關系式并寫出定義域；

（3）延長交的延長線于點，聯結，若與相似，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）或．

【解析】

（1）首先得出∠BDE+∠PDA=90°，進而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PA得出∠PDA=∠A進而得出答案；

（2）由AD=y得到：BD=BA-AD=5-y．過點E作EH⊥BD垂足為點H，構造Rt△EHB，所以，通過解Rt△ABC知：，易得答案；

（3）需要分類討論：①當∠DBP=∠ADF時即；②當∠DBP=∠F時，即，借助于方程求得AD的長度即可．

解：（1）證明：∵ED⊥DP，

∴∠EDP=90°，

∴∠BDE+∠PDA=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠B+∠PAD=90°，

∵PD=PA，

∴∠PDA=∠PAD，

∴∠BDE=∠B，

∴BE=DE；

（2）過點E作EH⊥BD垂足為點H，

由（1）知BE=DE，

∵AD=y，BD=BA-AD=5-y，

∴，

在Rt△EHB中，∠EHB=90°，

∴，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB=5，

∴，

，

∴．

（3）如圖，

設PD=a，則，，

在等腰△PDA中，，

易得：，

則在Rt△PDF中，∠PDF=90°，，

∴，，

①當∠DBP=∠ADF時，即；

解得a=3，此時，

②當∠DBP=∠F時，即，

解得，此時，

綜上所述，若△BDP與△DAF相似，線段AD的長為或．