Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=2，現將一塊三角板的直角頂點放在AB的中點D處，兩直角邊分別與直線AC，直線BC相交于點E，F，我們把DE⊥AC時的位置定為起始位置（如圖1），將三角板繞點D順時針方向旋轉一個角度α（0°＜α＜90°）．

（1）如圖2，在旋轉過程中，當點E在線段AC上時，試判別△DEF的形狀，并說明理由；

（2）設直線ED交直線BC于點G，在旋轉過程中，是否存在點G，使得△EFG為等腰三角形？若存在，求出CG的長，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）△DEF等腰直角三角形,理由見解析;（2）見解析.

【解析】

（1）連接CD，根據等腰直角三角形的性質得出CD平分∠C，CD⊥AB，進而證得△DCE≌△DFB，從而證得DE=DF，即可判定△DEF是等腰直角三角形．

（2）分三種情況分別討論，可得出△EFG為等腰三角形時CG的長．

解：（1）△DEF等腰直角三角形．

證明：如圖2，∵AC=BC，∠C=90°，D為AB中點，連接CD，

∴CD平分∠C，CD⊥AB，

∵∠DCB=∠B=45°，

∴CD=DB=1，

∵∠EDC+∠CDF=∠CDF+∠FDB=90°，

∴∠EDC=∠FDB，

在△DCE和△DFB中，

，

∴△DCE≌△DFB（ASA），

∴DE=DF，

∴△DEF是等腰直角三角形．

（2）如圖3a，當G在線段CB延長線上時，

∵∠FGE＜45°，∠FEG=45°，∠EFG＞90°

∴△EFG不可能是等腰三角形；

如圖3b，當G與C重合時，E與A重合，F與C重合，

此時FE=FG，CG=，

如圖3c，當G在線段BC上時，

∵∠EGF＞45°，∠EFG＞45°，∠FEG=45°，

∴只能EF=EG，

∵EC⊥FG，

∴FC=CG，

∵∠EDF=90°，

∴∠FDG=90°，

∴DC=FG=CG，

∴CG=1；

綜上，CG的值為或1．