Question

【題目】如圖1，在等邊三角形ABC中，CD為中線，點Q在線段CD上運動，將線段QA繞點Q順時針旋轉，使得點A的對應點E落在射線BC上，連接BQ，設∠DAQ=α

（0°＜α＜60°且α≠30°）.

（1）當0°＜α＜30°時，

①在圖1中依題意畫出圖形，并求∠BQE（用含α的式子表示）；

②探究線段CE，AC，CQ之間的數量關系，并加以證明；

（2）當30°＜α＜60°時，直接寫出線段CE，AC，CQ之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）①；②CE+AC＝；（2）CE－AC＝，理由見解析

【解析】(1) ①根據旋轉的性質及等邊三角形的對稱性可得QA=QB，再由QB=QE可得；②延長CA到點F，使得AF=CE，連接QF，作QH⊥AC于點H，

（1）當0°＜α＜30°時，由∠BQE=60°+2α可得∠QEC=120°+α，再利用△QAF≌△QEC可得QF=QC，由等腰三角形三線合一的性質可得∠ACQ =30°，得到△QCF為等腰三角形，再利用解直角三角形即可得出結果;(2)由旋轉的性質可得線段CE，AC，CQ之間的數量關系.

①畫出的圖形如圖9所示．

∵ △ABC為等邊三角形，

∴ ∠ABC=60°．

∵ CD為等邊三角形的中線，

Q為線段CD上的點，

由等邊三角形的對稱性得QA=QB．

∵ ∠DAQ=α，

∴ ∠ABQ=∠DAQ=α，∠QBE=60°-α．

∵ 線段QE為線段QA繞點Q順時針旋轉所得，

∴ QE = QA．

∴ QB=QE．

可得 ．

②．

證法一：如圖10，延長CA到點F，使得AF=CE，連接QF，作QH⊥AC于點H．

∵ ∠BQE=60°+2α，點E在BC上，

∴ ∠QEC=∠BQE+∠QBE =(60°+2α)+( 60°-α)=120°+α．

∵ 點F在CA的延長線上，∠DAQ=α，

∴ ∠QAF=∠BAF+∠DAQ=120°+α．

∴ ∠QAF=∠QEC．

又∵ AF =CE，QA=QE，

∴ △QAF≌△QEC．

∴ QF=QC．

∵ QH⊥AC于點H，

∴ FH=CH，CF=2CH．

∵ 在等邊三角形ABC中，CD為中線，

點Q在CD上，

∴ ∠ACQ==30°，

即△QCF為底角為30°的等腰三角形．

∴ ．

∴ ．

即．

思路二：如圖11，延長CB到點G，使得BG=CE，連接QG，可得

△QBG≌△QEC，△QCG為底角為30°的等腰三角形，與證法一

同理可得 ．

（2）如圖12，當30°＜α＜60°時，．