Question

【題目】已知：四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=CD,∠BAD=120°,點E是射線CD上的一個動點（與C、D不重合）,將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°后,得到△ABE',連接EE'.

（1）如圖1,∠AEE'= °;

（2）如圖2,如果將直線AE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°后交直線BC于點F,過點E作EM∥AD交直線AF于點M,寫出線段DE、BF、ME之間的數(shù)量關(guān)系;

（3）如圖3,在（2）的條件下,如果CE=2,AE=,求ME的長.

Answer 1

【答案】(1)∠AEE'=30°;

(2)當(dāng)點E在線段CD上時,;

當(dāng)點E在CD的延長線上時,

時,;

時,;

時,;

(3)．

【解析】

試題（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)地的性質(zhì)易得到△ADE≌△ABE/,∠EAE/=120°，所以∠AEE/=30°.

由于點E是射線CD上一動點，其位置不確定，故應(yīng)分情況討論：一是當(dāng)點E在線段CD上時：此時易得；二是點E在CD的延長線上時，仍需考慮多種情況，可以知道，當(dāng)∠EAD=300時，AE旋轉(zhuǎn)后的直線與BC平行，當(dāng)∠EAD=900時，AE旋轉(zhuǎn)后的直線與AB共線，而∠EAD不可能為1200，所以應(yīng)再次細分為三種情況：即當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時.

(3）如圖，作于點G, 作于點H.易知四邊形AGHD是矩形和兩個全等的直角三角形；∴點、B、C在一條直線上.繼續(xù)作于Q.于點P. 多次利用勾股定理可得，，；繼而證明Rt△AG E'∽Rt△FA E'，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可求解.

試題解析：

解：(1) 30°.

當(dāng)點E在線段CD上時，；

當(dāng)點E在CD的延長線上，

時，；

時，；

時，.

(3)作于點G, 作于點H.

由AD∥BC，AD=AB=CD，∠BAD=120°，得∠ABC=∠DCB=60°，

易知四邊形AGHD是矩形和兩個全等的直角三角形.則GH="AD" , BG=CH.

∵,

∴點、B、C在一條直線上.設(shè)AD=AB=CD=x,則GH=x,BG=CH=,.

作于Q.在Rt△EQC中，CE="2,",

∴,.

∴E'Q=.

作于點P.

∵△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°后，得到△ABE'.

∴△A EE'是等腰三角形，.

∴在Rt△AP E'中，E'P=.

∴EE'="2" E'P=.

∴在Rt△EQ E'中，E'Q=.

∴.

∴.

∴，.

∴

在Rt△E'AF中,

∴Rt△AG E'∽Rt△FA E'.

∴

∴.

∴.

由（2）知：.

∴.