Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC邊于點D，交AC邊于點E．過點D作⊙O的切線，交AC于點F，交AB的延長線于點G，連接DE．
（1）求證：BD=CD；
（2）若∠G=40°，求∠AED的度數．
（3）若BG=6，CF=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD，

∵AB為直徑，

∴∠ACB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴BD=CD

（2）解：連接OD，

∵GF是切線，OD是半徑，

∴OD⊥GF，

∴∠ODG=90°，

∵∠G=40°，

∴∠GOD=50°，

∵OB=OD，

∴∠OBD=65°，

∵點A、B、D、E都在⊙O上，

∴∠ABD+∠AED=180°，

∴∠AED=115°

（3）解：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠ODB=∠C，

∴OD∥AC，

∴△GOD∽△GAF，

∴ = ，

∴設⊙O的半徑是r，則AB=AC=2r，

∴AF=2r﹣2，

∴ = ，

∴r=3，

即⊙O的半徑是3

【解析】（1）連接AD，根據圓周角定理得出AD⊥BC，根據等腰三角形的性質得出即可；（2）連接OD，根據切線的性質求出∠ODG=90°，求出∠BOD、∠ABC，根據圓內接四邊形求出即可；（3）求出△ODG∽△AFG，得出比例式，即可求出圓的半徑．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰三角形的性質和切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．