Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，是坐標原點，拋物線與軸正半軸交于點，與軸交于點，連接，點分別是的中點.，且始終保持邊經過點，邊經過點，邊與軸交于點，邊與軸交于點.

（1）填空，的長是 ，的度數是 度

（2）如圖2，當，連接

①求證：四邊形是平行四邊形；

②判斷點是否在拋物線的對稱軸上，并說明理由；

（3）如圖3，當邊經過點時（此時點與點重合），過點作，交延長線上于點，延長到點，使，過點作，在上取一點，使得（若在直線的同側），連接，請直接寫出的長.

Answer 1

【答案】(1)8，30；（2）①詳見解析；②點D在該拋物線的對稱軸上，理由詳見解析；（3）12 .

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線的解析式求得點A的坐標為（8，0），點B的坐標為（0，8），即可得OA=8,根據銳角三角函數的定義即可求得=30°；（2）①由，根據平行線分線段成比例定理可得,又因OM=AM,可得OH=BH,再由BN=AN，根據三角形的中位線定理可得，即可判定四邊形AMHN是平行四邊形；②點D在該拋物線的對稱軸上，如圖，過點D作DRy軸于點R，由可得∠NHB=∠AOB=90°，由，可得∠DHB=∠OBA=30°，又因，根據全等三角形的性質可得∠HDG=∠OBA=30°，即可得∠HDN=∠HND，所以DH=HN=OA=4，在Rt△DHR中，DR=DH=,即可判定點D的橫坐標為-2.又因拋物線的對稱軸為直線，所以點D在該拋物線的對稱軸上；

試題解析：(1)8，30；

（2）①證明：∵，

∴,

又∵OM=AM,

∴OH=BH,

又∵BN=AN

∴

∴四邊形AMHN是平行四邊形

②點D在該拋物線的對稱軸上，理由如下：

如圖，過點D作DRy軸于點R，

∵

∴∠NHB=∠AOB=90°，

∵，

∴∠DHB=∠OBA=30°，

又∵

∴∠HDG=∠OBA=30°，

∴∠HDG=∠DHB=30°，

∴∠HGN=2∠HDG=60°，

∴∠HNG=90°-∠HGN=90°-60°=30°，

∴∠HDN=∠HND，

∴DH=HN=OA=4

在Rt△DHR中，DR=DH=,

∴點D的橫坐標為-2.

又因拋物線的對稱軸為直線，

∴點D在該拋物線的對稱軸上.

(3)12 .