Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，CE⊥AB于E，CD平分∠ECB，交過點B的射線于D，交AB于F，且BC=BD．
（1）求證：BD是⊙O的切線；
（2）若AE=9，CE=12，求BF的長．

Answer 1

（1）證明：∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°．
∵CD平分∠ECB，BC=BD，
∴∠1=∠2，∠2=∠D．
∴∠1=∠D，
∴CE∥BD，
∴∠DBA=∠CEB=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴BD是⊙O的切線；

（2）連接AC，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°．
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵∠A+∠ABC=90°，∠A+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠ABC，
∴△ACE∽△CBE，
∴

CE

EB

=

AE

CE

，即CE²=AE•EB，
∵AE=9，CE=12，
∴EB=16，
在Rt△CEB中，∠CEB=90，由勾股定理得BC=20，
∴BD=BC=20，
∵∠1=∠D，∠EFC=∠BFD，
∴△EFC∽△BFD，
∴

CE

BD

=

EF

BF

，
即

12

20

=

16-BF

BF

∴BF=10．