Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知A（2，0），以OA為一邊在第四象限內畫正方形OABC，D（m，0）為x軸上的一個動點（m＞2），以BD為一直角邊在第四象限內畫等腰直角△BDE，其中∠DBE=90°．

（1）試判斷線段AE、CD的數量關系，并說明理由；

（2）設DE的中點為F，直線AF交y軸于點G．問：隨著點D的運動，點G的位置是否會發生變化？若保持不變，請求出點G的坐標；若發生變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AE=CD，理由詳見解析；（2）點G的位置不會發生變化，理由詳見解析．

【解析】

（1）由正方形OABC，可得BC=BA，∠ABC=90°，由等腰直角三角形BDE，可得BD=BE，∠DBE=90°，再根據∠CBD=∠ABE，即可得到△CBD≌△ABE，進而得出CD=AE；

（2）過點E作PQ∥OD，分別交直線AB，AF于點P，Q，判定△ADB≌△PBE，可得AD=PB，AB=PE，判定△ADF≌△QEF，可得AD=QE，依據AP=QP，可得∠AQP=45°，依據PQ∥OD，可得∠OAG=∠Q=45°，進而得到△AOG是等腰直角三角形，進而得到G（0，2），即點G的位置不會發生變化．

（1）AE=CD．

理由：由正方形OABC，可得BC=BA，∠ABC=90°，

由等腰直角三角形BDE，可得BD=BE，∠DBE=90°，

∴∠ABC+∠ABD=∠DBE+∠ABD，

即∠CBD=∠ABE，

∴△CBD≌△ABE，

∴CD=AE；

（2）點G的位置不會發生變化．

理由：如圖，過點E作PQ∥OD，分別交直線AB，AF于點P，Q，

∵∠DAB=∠P=∠DBE=90°，

∴∠ADB+∠ABD=∠PBE+∠ABD=90°，

∴∠ADB=∠PBE，

又∵DB=BE，

∴△ADB≌△PBE，

∴AD=PB，AB=PE，

∵F是DE的中點，

∴DF=EF，

∵AD∥EQ，

∴∠DAF=∠Q，

又∵∠AFD=∠QFE，

∴△ADF≌△QEF，

∴AD=QE，

∴AB+BP=PE+EQ，即AP=QP，

∴∠AQP=45°，

又∵PQ∥OD，

∴∠OAG=∠Q=45°，

∴△AOG是等腰直角三角形，

∴GO=AO=2，

∴G（0，2），即點G的位置不會發生變化．