Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，正方形OABC的面積為16，點D的坐標為（0，3）．將直線BD沿y軸向下平移d個單位得到直線l（0＜d≤4）．

（1）則點B的坐標為　 　；

（2）當d=1時，求直線l的函數表達式；

（3）設直線l與x軸相交于點E，與邊AB相交于點F，若CE=CF，求d的值并直接寫出此時∠ECF的度數．

Answer 1

【答案】（1）B（4，4），（2）y=x+2；（3）當CE=CF時，當d=4時∠ECF=0°，當d=時∠ECF=90°．

【解析】

（1）由正方形的面積可求得其邊長為4，則可求得B點坐標；

（2）利用待定系數法可求得直線l的解析式，再利用直線的平移可求得直線l的解析式；

（3）用d可表示出直線l的解析式，則可表示出E、F的坐標，再由勾股定理可表示出CE和CF的長，由條件可得到關于d的方程，可求得d的值，進一步可求得∠ECF的度數．

（1）∵正方形的面積為16，∴OA2=16，解得：OA=4，∴B（4，4）．

故答案為：（4，4）；

（2）設直線BD解析式為y=kx+b，把B、D坐標代入可得：，解得：，∴直線BD解析式為y=x+3，當d=1時，則直線l的解析式為y=x+2；

（3）由（2）可知直線BD解析式為y=x+3，向下平移d個單位時，可得直線l解析式為y=x+3﹣d，當y=0時可得：x+3﹣d=0，解得：x=4d﹣12，當x=4時，則y=4﹣d，∴E（4d﹣12，0），F（4，4﹣d），且C（0，4），∴CE2=（4d﹣12）2+42，CF2=42+（4﹣d﹣4）2=42+d2．

∵CE=CF，∴（4d﹣12）2+42=42+d2，解得：d=4或d=．

①當d=4時，則點E和點F重合，可得：∠ECF=0°；

②當d=時，則E（﹣，0），F（4，），∴EF2=（4+）2+（）2=，且CE2=CF2=42+（）2=，∴CE2+CF2=EF2，∴∠ECF=90°．

綜上所述：若CE=CF，當d=4時，∠ECF=0°，當d=時，∠ECF=90°．