Question

【題目】已知：在中，，在中，，連接，取的中點，連接和．

（1）若點在邊上，點在邊上且與點不重合，如圖1，探索的關系并給予證明；

（2）如果將圖1中的繞點逆時針旋轉小于的角，如圖2，那么（1）中的結論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明．

Answer 1

【答案】（1），，見解析；（2）（1）中的結論仍成立，見解析

【解析】

（1）要求BM和DM的關系，可從角的度數入手，由題意，BM是直角三角形CBE斜邊上的中線，因此BM=CM，∠MCB=∠MBC，∠BME=2∠MCB，同理可得出∠DME=2∠DCM，根據三角形ABC是個等腰直角三角形，那么∠DCM+∠BCE=45°，因此∠BME+∠DME=2（∠DCM+∠BCM）=90°，由此我們可得出∠BMD=90°，那么BM和DM是互相垂直的；

（2）可通過構建三角形來求解，連接CD和EF，連接BD，延長DM至點F，使得DM=MF，連接BF、FC，延長ED交AC于點H，先證明三角形ADB和CFB全等后，再證明三角形DBF是等腰三角形，即可得出BM⊥DM．

解：（1），，

在中，是斜邊的中點，

∴，

∴．

在中，是斜邊的中點，

∴．

∴．

∴，，

∵，

∴，即．

（2）：（1）中的結論仍成立，

延長至點，使得，連接和，連接，連接，延長交于點．

∵，，

∴四邊形是平行四邊形，

∴，，

∵，

∵

∵，

∴．

∵，，

∴．

又∵，

∴≌，

∴，，

∵，

∴．

在中，由，，得且．