Question

【題目】如圖，將線段AB繞點A逆時針旋轉60°得AC，連接BC，作△ABC的外接圓⊙O，點P為劣弧 上的一個動點，弦AB，CP相交于點D．

（1）求∠APB的大小；
（2）當點P運動到何處時，PD⊥AB？并求此時CD：CP的值；
（3）在點P運動過程中，比較PC與AP+PB的大小關系，并對結論給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵∠APB+∠ACB=180°，

∴∠APB=120°

（2）解：當點P運動到 的中點時，PD⊥AB，

如圖1，連接PC，OA，OB，設⊙O的半徑為r，則CP=2r，

又∵⊙O為等邊△ABC的外接圓，

∴∠OAB=30°，

在Rt△OAD中，

∵OD= OA= ，

∴CD= +r= ，

∴CD：CP= ：2r=3：4

（3）解：PC=AP+PB

證明：方法一：

如圖2，在AP的延長線上取點Q，使PQ=PB，連接BQ，

∵∠APB=120°，

∴∠BPQ=60°，

∴△BPQ是等邊三角形，

∴PB=BQ，

∵∠CBP=∠CBA+∠ABP=60°+∠ABP，

∠ABQ=∠QBP+∠ABP=60°+∠ABP，

∴∠ABQ=∠CBP，

在△ABQ和△CBP中，PB=QB，∠CBP=∠ABQ，CB=AB，

∴△ABQ≌△CBP，

∴CP=AQ=AP+PQ=AP+PB，即PC=AP+PB；

方法二：如圖3，B為圓心，BP為半徑畫圓交CP于點M，連接BM，

∵∠CPB=60°，

∴△PBM是等邊三角形，

∵∠CMB=120°，

∴∠CMB=∠APB，

∴△APB≌△CMB，

∴PC=AP+PB；

方法三：（略證）如圖4，以A為圓心，A為半徑畫圓交CP于N，連接AN，

先證△APN是等邊三角形，再證△ANC≌△APB，

從而PC=AP+PB．

【解析】（1）先根據題意判斷出△ABC是等邊三角形，再根據圓內接四邊形對角互補的性質可知∠APB+∠ACB=180°，進而可得出結論；（2）連接PC，OA，OB，設⊙O的半徑為r，則CP=2r，根據⊙O為等邊△ABC的外接圓可求出∠OAB=30°，再根據直角三角形的性質可用r表示出OD，CD的值，進而得出結論；（3）在AP的延長線上取點Q，使PQ=PB，連接BQ，可判斷出△BPQ是等邊三角形，再根據全等三角形的判定定理得出△ABQ≌△CBP，由全等三角形的性質即可得出結論．