Question

【題目】在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE，點E在△ABC的內部，連接EC，EB和ED，設EC＝kBD（k≠0）．

（1）當∠ABC＝∠ADE＝60°時，如圖1，請求出k值，并給予證明；

（2）當∠ABC＝∠ADE＝90°時：

①如圖2，（1）中的k值是否發生變化，如無變化，請給予證明；如有變化，請求出k值并說明理由；

②如圖3，當D，E，C三點共線，且E為DC中點時，請求出tan∠EAC的值．

Answer 1

【答案】（1）k＝1，理由見解析；（2）①k值發生變化，k＝，理由見解析；②tan∠EAC＝．

【解析】

（1）根據題意得到△ABC和△ADE都是等邊三角形，證明△DAB≌△EAC，根據全等三角形的性質解答；

（2）①根據等腰直角三角形的性質、相似三角形的性質計算；

②作EF⊥AC于F，設AD＝DE＝a，證明△CFE∽△CAD，根據相似三角形的性質求出EF，根據勾股定理求出AF，根據正切的定義計算即可．

（1）k＝1，

理由如下：如圖1，∵∠ABC＝∠ADE＝60°，BA＝BC，DA＝DE，

∴△ABC和△ADE都是等邊三角形，

∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，

∴∠DAB＝∠EAC，

在△DAB和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC（SAS）

∴EC＝DB，即k＝1；

（2）①k值發生變化，k＝，

∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，

∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴，，∠DAE＝∠BAC＝45°，

∴，∠DAB＝∠EAC，

∴△EAC∽△DAB，

∴，即EC＝BD，

∴k＝；

②作EF⊥AC于F，

設AD＝DE＝a，則AE＝a，

∵點E為DC中點，

∴CD＝2a，

由勾股定理得，AC＝，

∵∠CFE＝∠CDA＝90°，∠FCE＝∠DCA，

∴△CFE∽△CAD，

∴，即，

解得，EF＝，

∴AF＝，

則tan∠EAC＝．