Question

【題目】（12分）如圖1所示，將一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為2、寬為1的矩形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長(zhǎng)方形ABEF．現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D，旋轉(zhuǎn)角為．

（1）當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在EF邊上時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角α的值為________度；

（2）如圖2，G為BC中點(diǎn)，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；

（3）小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，是否存在旋轉(zhuǎn)角α，使△DCD′與△CBD′全等？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）證明見試題解析；（3）能．或．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CD′的長(zhǎng)，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，得到∠CD′E=30°，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠α的度數(shù)；

（2）由G為BC中點(diǎn)可得CG=CE，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，則∠GCD′=∠DCE′=90°+α，再根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD，得到GD′=E′D；

（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)�等，�?dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，可計(jì)算出α=135°，當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，可計(jì)算得到α=315°．

試題解析：（1）∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，∴CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴∠α=30°；

（2）∵G為BC中點(diǎn)，∴CG=1，∴CG=CE，∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∵CD′=CD，∠GCD′=∠DCE′，CG=CE′，∴△GCD′≌△E′CD（SAS），∴GD′=E′D；

（3）能．理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴CB=CD，∵CD′=CD′，∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時(shí)，△BCD′≌△DCD′，當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角α==135°，

當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°，則α=360°﹣=315°，即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°時(shí)，△BCD′與△DCD′全等．