Question

19．如圖，一次函數y=-$\frac{3}{4}$x+6的圖象分別交y軸、x軸交于點A、B，點P從點B出發，沿射線BA以每秒1個單位的速度出發，設點P的運動時間為t秒．
（1）點P在運動過程中，若某一時刻，△OPA的面積為12，求此時P的坐標；
（2）在整個運動過程中，當t為何值時，△AOP為等腰三角形？（只需寫出t的值，無需解答過程）

Answer 1

分析 （1）根據坐標軸上點的坐標特征可求得A、B的坐標，用m表示出點P的坐標，利用面積可求得m的值，進一步求得P點坐標；
（2）可用t表示出BP、AP的長，分AP=AO、AP=OP和OP=AO三種情況，分別得到關于t的方程，可求得t的值．

解答 解：（1）當x=0時，y=6，
當y=0時，x=8，
則A（0，6），B（8，0），
AB=10，
設點P的坐標為（m，-$\frac{3}{4}$m+6），
∵△OPA的面積為12，
∴$\frac{1}{2}$×6×|m|=12，
解得：m=±4，
∴點P的坐標為（-4，9）或（4，3）．
（2）由題意可知BP=t，AP=10-t，
當△AOP為等腰三角形時，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三種情況．
①當AP=AO時，則有10-t=6，可解得t=4；
②當AP=OP時，過P作PM⊥AO，垂足為M，如圖1，

則M為AO中點，故P為AB中點，此時t=5；
③當AO=OP時，過O作ON⊥AB，垂足為N，過P作PH⊥OB，垂足為H，如圖2，

則AN=$\frac{1}{2}$AP=$\frac{1}{2}$（10-t），
∵PH∥AO，
∴△AOB∽△PHB，
∴$\frac{PB}{PH}$=$\frac{AB}{AO}$，即$\frac{t}{PH}$=$\frac{10}{6}$，
∴PH=$\frac{3}{5}$t，
又∠OAN+∠AON=∠OAN+PBH=90°，
∴∠AON=∠PBH，且∠ANO=∠PHB，
∴△ANO∽△PHB，
∴$\frac{PB}{AO}$=$\frac{PH}{AN}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{1}{2}（10-t）}$，解得t=$\frac{14}{5}$．
綜上可知當t的值為4、5和$\frac{14}{5}$時，△AOP為等腰三角形．

點評 本題主要考查一次函數的綜合應用，涉及知識點有坐標軸上點的坐標特征，等腰三角形的性質，在（2）中分三種情況討論，考查知識點較多，綜合性較強，但所考查知識比較基礎，難度適中．