Question

如圖1，平面直角坐標系中，拋物線與軸交于A、B兩點，點C是AB的中點，CD⊥AB且CD=AB.直線BE與軸平行，點F是射線BE上的一個動點，連接AD、AF、DF.

（1）若點F的坐標為（，），AF=.
①求此拋物線的解析式；
②點P是此拋物線上一個動點，點Q在此拋物線的對稱軸上，以點A、F、P、Q為頂點構成的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點Q的坐標；
（2）若，，且AB的長為，其中.如圖2，當∠DAF=45時，求的值和∠DFA的正切值.

Answer 1

（1）y=x²-x+ Q₁(,3) Q₂(,5) Q₃(,7)

試題分析（1）：由題意。根據勾股定理易得到，點A B的坐標，將點代入解析式中求出b c 的值，因為對稱軸x=，所以，設Q（，n） P(m, m²+m+),∵QP//AF.且QP="AF.∴AF與PQ的斜率相同，即解析式中的k相等，將點A" F的坐標代人y=kx+b中得到AF的解析式，即可以得到PQ的解析式，含有m,n的方程，解得Q的坐標值。（2）問，做輔助線，過點D做DM//X軸，交拋物線與M,過點A做AH⊥Y軸，得到矩形，由此證得△ABF≌△AHM，及△AFD≌△AMD,得，∠DFA=∠AFB由于C為中點，∴DG=CB=HD=t，設DF=x,∴DF²=DG²+GF²∴(t+x)²=t²+(2t-x)² 解得x = tan∠DFA==3. 解：（1）①∵直線BE與軸平行，點F的坐標為（，1），
∴點B的坐標為（，0），∠FBA=90，BF=1.
在Rt△EFM中，AF=，
∴. 
∴點A的坐標為（，0）.
∴拋物線的解析式為. ......................... 1分
②點Q的坐標為（，3），（，5），（，7）.  ................... 4分
閱卷說明：答對1個得1分.
（2）∵，，
∴.
∴.
由 ，
.
解得 ，.
∵，
∴點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（，0）.
∴AB=，即 .  ............................................. 5分
方法一：過點D作DG∥軸交BE于點G，
AH∥BE交直線DG于點H，延長
DH至點M，使HM=BF.（如圖）

∵DG∥軸，AH∥BE，
∴四邊形ABGH是平行四邊形.
∵∠ABF=90，
∴四邊形ABGH是矩形.
同理四邊形CBGD是矩形.
∴AH=GB=CD=AB=GH=.
∵∠HAB=90，∠DAF=45，
∴∠1+∠2=45.
在△AFB和△AMH中，
 
∴△AFB≌△AMH.  6分
∴∠1=∠3，AF=AM，∠4=∠M.
∴∠3+∠2="45."
在△AFD和△AMD中，

∴△AFD≌△AMD.
∴∠DFA=∠M，FD=MD.
∴∠DFA=∠4.  ............................................................ 7分
∵C是AB的中點，
∴DG=CB=HD=.
設BF=，則GF=，FD=MD=.
在Rt△DGF中，，
∴，
解得 .
∴.  ...................................... 8分
方法二：過點D作DM⊥AF于M.（如圖）

∵CD⊥AB，DM⊥AF，
∴∠NCA=∠DMN=90.
∵∠1=∠2，
∴∠NAC=∠NDM.
∴tan∠NAC=tan∠NDM.
∴.  …………………………….6分
∵C是AB的中點，CD=AB=，
∴AC=，.
∵∠DAM=45，
∴. 
設 CN=，則DN=.
∴.
∴.
在Rt△DNM中，，
∴.
.
.
∴，（舍）.
∴CN=， ................................................................ 7分
AN=.
∵EB∥軸，
∴EB⊥軸.
∵CD⊥AB，
∴CD∥EB.
∴.
∴AF=.
∴MF= AFAM=.
∴.  ...................................... 8分
^∴考點：
點評：熟練掌握二次函數的性質，三角形的判定，還有正切值的求法，本題的關鍵是做輔助線的基礎上找到等角的關系，由全等三角形的判定知邊度關系，再由正切定理把設的未知數舍去而求之，本題做法不唯一，可根據已知靈活應用。屬于難題，綜合性強，中考易出的題型。