Question

【題目】（1）如圖1，在矩形ABCD中，點P為邊BC上一點，且， ，求BP的長；

（2）如圖2，在平行四邊形ABCD中， ，求的長；

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC， ， ，在BC邊上存在一點P，使得，則邊的長滿足的條件為 。（請直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）由四邊形ABCD是矩形，得到∠B=∠C=90°，根據余角的性質得到∠BAP=∠DPC，推出△ABP∽△PCD，根據相似三角形的性質即可得到結論；

（2）延長BC至點E，使得CD⊥DE，通過△ABP∽△DPE，列方程得到BP=1，過點P作PF⊥AB，解直角三角形即可得到結論；

（3）作AE⊥BC，DF⊥BC，得到∠AEP=∠DFP=90°，推出△AEP∽△PFD，根據相似三角形的性質得到AEDF=PEPF=4，由PE+PF≥2 ，即可得到結論．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∵∠APD=∠B=90°，

∴∠PAB+∠APB=∠APB+∠DPC=90°，

∴∠BAP=∠DPC，

∴△ABP∽△PCD，

∴，

設BP=x，∴

∴x1=2，x2=8，又BP＜PC，

∴BP=2；

（2）延長BC至點E，使得CD⊥DE，

∵AB=2，BC=5，∠APD=∠B=45°，

∴∠DPE=∠BAP，∠B=∠E=45°，

∴△ABP∽△DEP，

∴，

設BP=x，CE=CD=4，

∴，

∴BP=1，

過點P作PF⊥AB，

則BF=PF=，AF=，

∴AP=；

（3）AD≥4，

作AE⊥BC，DF⊥BC，

∴∠AEP=∠DFP=90°，

∵∠APD=90°，

∴∠EAP+∠APE=∠APE+∠DPF=90°，

∴∠EAP=∠DPF，

∴△AEP∽△PFD，

∴，

∴AEDF=PEPF=4，

∵PE+PF≥2，

∴AD=PE+PF≥4．

故答案為：AD≥4．