Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸交于A(－4，0)，B(2，0)，與y軸交于點C(0，2)．

(1)求拋物線對應的函數表達式；

(2)以AB為直徑作⊙M，一直線經過點E(－1，－5)，并且與⊙M相切，求該直線對應的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2－x＋2；（2）y＝－x－或y＝x－.

【解析】

（1）只需運用待定系數法就可解決問題；

（2）設過點E的直線與⊙M相切于點F，與x軸交于點N，連接MF，如圖2，根據切線的性質可得MF⊥EN．易得M的坐標、ME、MF、EF的長，易證△MEF∽△NEM，根據相似三角形的性質可求出MN，從而得到點N的坐標，然后運用待定系數法就可解決問題．

（1）如圖1，由題可得：

，解得：，∴拋物線的解析式為yx2x+2；

（2）設過點E的直線與⊙M相切于點F，與x軸交于點N，連接MF，如圖2，則有MF⊥EN．

∵A（﹣4，0），B（2，0），∴AB=6，MF=MB=MA=3，∴點M的坐標為（﹣4+3，0）即M（﹣1，0）．

∵E（﹣1，﹣5），∴ME=5，∠EMN=90°．

在Rt△MFE中，EF4．

∵∠MEF=∠NEM，∠MFE=∠EMN=90°，∴△MEF∽△NEM，∴，∴，∴NM，∴點N的坐標為（﹣1，0）或（﹣1，0），即（，0）或（，0）．

設直線EN的解析式為y=px+q．

①當點N的坐標為（，0）時，，解得：，∴直線EN的解析式為y．

②當點N的坐標為（，0）時，同理可得：直線EN的解析式為y．

綜上所述：所求直線的解析式為y或y．