Question

某農戶生產經銷一種農副產品，已知這種產品的成本價為20元/千克．而且物價部門規定這種產品的銷售價不得高于28元/千克，通過市場調查發現，該產品每天的銷售量w（千克）與銷售價x（元/千克）的變化如下表：

銷售價x（元/千克）	21	23	25	27
銷售量w（千克）	38	34	30	26

設這種產品每天的銷售利潤為y（元）．
（1）請觀察題中的表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識直接寫出w與x所滿足的函數關系式，并求出y與x所滿足的函數關系式；
（2）當銷售價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？
（3）該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為多少元？

Answer 1

分析：（1）從表格看出，x每增加2，w就減少4，由此可確定是一次函數關系式，設w=kx+b，把（21，38），（23，34）代入求出k和b即可得到w和x的關系，因為y=（x-20）w，所以可得到y與x的函數關系式；
（2）先利用配方法將（1）的函數關系式變形，再利用二次函數的性質即可求解即可；
（3）先把y=150代入（1）的函數關系式中，解一元二次方程求出x，再根據x的取值范圍即可確定x的值．

解答：解：（1）設w=kx+b，把（21，38），（23，34）代入得：

38=21k+b 34=23k+b

，
解得：

k=-2 b=80

．
∴w=-2x+80，
∵y=（x-20）?w，
=（x-20）（-2x+80）
=-2x²+120x-1600，
∴y與x的函數關系式為：y=-2x²+120x-1600．                 
（2）y=-2x²+120x-1600
=-2 （x-30）²+200，
∵x≤28∴當x=28時，y有最大值192．
∴當銷售價定為28元/千克時，每天可獲最大銷售利潤192元．
（3）當y=150時，可得方程-2 （x-30 ）²+200=150．
解這個方程，得  x₁=25，x₂=35．                                
根據題意，x₂=35不合題意，應舍去．
∴當銷售價定為25元/千克時，該農戶每天可獲得銷售利潤150元．

點評：本題考查了二次函數的應用，難度適中．得到每天的銷售利潤的關系式是解決本題的關鍵，利用配方法或公式法求解二次函數的最值問題是常用的解題方法．