Question

最近，新鄉市政府出臺了一系列“三農”優惠政策，使農民收入大幅度增加，某農戶生產經銷一種農副產品，已知這種產品的成本價為每千克20元，銷售時售價不低于成本價但又不能高于每千克25元，經市場調查發現每天的銷售量y（千克）與所售單價x（元）的關系可以近似的看作一次函數（如圖所示）．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）設該農戶每天所獲得的利潤為w元，求w與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；根據題意判斷：當x取何值時，w的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由函數的圖象可知y與x是一次函數的關系，所以可設y=kx+b，把（22，36）和（24，32）分別代入，運用待定系數法即可求出y與x之間的函數關系式；
（2）利用每千克銷售利潤×銷售量=總銷售利潤列出函數關系式，整理即可解答，再利用配方法即可求出如何定價每天獲得的利潤最大，及最大利潤是多少．

解答：解：（1）設y=kx+b，把（22，36）和（24，32）分別代入，得：

22k+b=36 24k+b=32

，
解得：

k=-2 b=80

，
∴y與x的關系式為y=-2x+80；

（2）由題意知：w=（x-20）•y=（x-20）•（-2x+80）=-2x²+120x-1600，
∴w與x的關系式為：y=-2x²+120x-1600（20≤x≤25）．
∵w=-2x²+120x-1600=-2（x-30）²+200，
∴當20≤x≤25時，在對稱軸的左側，w隨x的增大而增大
當x=25時，w的值最大為-2×25+200=150元．
答：w與x之間的函數關系式：y=-2x²+120x-1600（20≤x≤25），當x取25時，w的值最大，最大值是150元．

點評：本題考查的是一次函數和二次函數的實際應用．求二次函數的最大（小）值時，注意自變量的取值范圍，如果頂點橫坐標的值不在自變量的取值范圍之內，需根據二次函數的增減性進行判斷．