Question

（2011•東臺市二模）在四邊形ABCD中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點，F是AB延長線上一點，且CE=BF．

思考驗證：
（1）求證：DE=DF；
（2）在圖1中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE、EG、BG之間的數量關系并證明；
歸納結論：
（3）若題中條件“∠CAB=60°且∠CDB=120°”改為∠CAB=α，∠CDB=180°-α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結論仍然成立？（只寫結果不要證明）
探究應用：
（4）運用（1）（2）（3）解答中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖2，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠CAB=∠CAD=30°，E在AB上，DE⊥AB，且∠DCE=60°，若AE=3，求BE的長．

Answer 1

分析：（1）根據已知推出∠C=∠DBF，根據SAS證△DEC≌△DFB即可；
（2）連接AD，根據SSS證△ACD≌△ABD，推出∠CDA=∠BDA=60°，推出∠GDF=60°，得出△DGF≌△DEG，推出FG=EG即可；
（3）根據（1）（2）即可猜出結論；
（4）過C作CM⊥AD交AD的延長線于M，根據全等三角形的性質得出AM=AB，BC=CM，根據結論得出BE+DM=DE，根據勾股定理求出DE，代入即可．

解答：（1）證明：∵∠A+∠C+∠CDB+∠ABD=360°，∠A=60°，∠CDB=120°，
∴∠C+∠ABD=180°，
∵∠ABD+∠DBF=180°，
∴∠C=∠DBF，
在△DEC和△DFB中，

CE=BF ∠C=∠DBF CD=BD

∴△DEC≌△DFB，
∴DE=DF．
（2）解：CE+BG=EG，
證明：連接DA，
在△ACD和△ABD中

AC=AB AD=AD CD=DB

，
∴△ACD≌△ABD，
∴∠CDA=∠BDA=60°，
∵∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°，
∴∠CDE=∠ADG，∠EDA=∠GDB，
∵∠BDF=∠CDE，
∴∠GDB+∠BDF=60°，
在△DGF和△DEG中

DE=DF ∠EDG=∠GDF DG=DG

，
∴△DGF≌△DEG，
∴FG=EG，
∵CE=BF，
∴CE+BG=EG．

（3）解：∠EDG=

1

2

（180°-α），

（4）解：過C作CM⊥AD交AD的延長線于M，
在△AMC和△ABC中

∠AMC=∠ABC ∠DAC=∠BAC AC=AC

，
∴△AMC≌△ABC，
∴AM=AB．CM=BC，
由（1）（2）（3）可知：DM+BE=DE，
∵AE=3，∠AED=90°，∠DAB=60°，
∴AD=6，
由勾股定理得：DE=3

3

，
∴DM=AM-AD=AB-6=BE+3-6=BE-3，
∴BE-3+BE=3

3

，
即BE=

1

2

（3

3

+3）．

點評：本題綜合考查了全等三角形的性質和判定，含30度角的直角三角形性質，勾股定理等知識點的應用，此題是一道綜合性比較強的題目，有一定的難度，能根據題意推出規律是解此題的關鍵．