Question

（2011•東臺市二模）如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，交AC于E．
（1）求證：D為BC的中點；
（2）過點O作OF⊥AC，于F，若AF=

7

4

，BC=2，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據直徑所對的圓周角是直角，以及三線合一定理即可證得；
（2）先根據垂徑定理，求得AE=2AF=

7

2

；再運用圓周角定理的推論得∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°，從而可證得∴△BEC∽△ADC，即CD：CE=AC：BC，根據此關系列方程求解即可得⊙O的直徑．

解答：解：（1）連接AD

∵AB是⊙O的直徑，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴點D是BC的中點；
（2）∵OF⊥AC于F，AF=

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4

，
∴AE=2AF=

7

2

連接BE，
∵AB為直徑 D、E在圓上
∴∠ADB=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90°
∴在△BEC、△ADC中，
∠BEC=∠ADC，∠C=∠C
∴△BEC∽△ADC
即CD：CE=AC：BC
∵D為BC中點
∴CD=

1

2

BC
又∵AC=AB
∴

1

2

BC²=CE•AB
設AB=x，可得  x（x-

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2

）=2，解得x₁=-

1

2

（舍去），x₂=4．
∴⊙O的直徑為4．

點評：本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，勾股定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質等知識，應注意發散思維能力的培養．