Question

（2011•東臺市二模）王老師從拉面的制作受到啟發，設計了一個數學問題：如圖，在數軸上截取從原點到1的對應點的線段AB，對折后（點A與B重合）再均勻地拉成1個單位長度的線段，這一過程稱為一次操作（如在第一次操作后，原先段AB上的

1

4

，

3

4

均變成

1

2

，

1

2

變成1，等），那么在線段AB上（除A、B）的點中，問第n次操作，恰好被拉到與1重合的點所對應的數之和是

2^n-2

．

Answer 1

分析：根據題意，可知下一次的操作把上一次的對應點正好擴大了2倍．因為第一次操作后，原線段AB上的

1

4

，

3

4

均變成

1

2

，則第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數是

1

4

和

3

4

，則它們的和可求．根據題意，將恰好被拉到與1重合的點所對應的坐標列出數據，找出規律，列出通式即可．

解答：解：第一次操作后，原線段AB上的

1

2

變為1，
第二次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數有2¹=2個，分別是

1

4

和

3

4

，其和為1，
第三次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數有2²=4個，分別是

1

8

、

3

8

、

5

8

和

7

8

，其和為2，
…，
可以推出第n次操作后，恰好被拉到與1重合的點所對應的數的通式為

1

2n

、

3

2n

…

2n-1

2n

，共有2^n-1個點，其和為

1+3+5+…+(2n-1)

2n

=

2n-1×2n 2

2n

=2^n-2．
故答案為：2^n-2．

點評：此題的難點是理解題意，能夠發現對應點之間的變化規律：下一次的操作把上一次的對應點正好擴大了2倍．解答本題的難點是根據數據列出通式，方便比較數據之間的聯系．