Question

【題目】如圖，已知ABCD是邊長為3的正方形，點P在線段BC上，點G在線段AD上，PD＝PG，DF⊥PG于點H，交AB于點F，將線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，連接EF．

（1）求證：DF＝PG；

（2）若PC＝1，求四邊形PEFD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8.

【解析】

作PM⊥AD,在四邊形ABCD和四邊形ABPM證AD＝PM；DF⊥PG，得出∠GDH+∠DGH＝90°，推出∠ADF＝∠MPG；還有兩個直角即可證明△ADF≌△MPG，從而得出對應邊相等

（2）由已知得，DG＝2PC＝2；△ADF≌△MPG得出DF＝PD；根據旋轉，得出∠EPG＝90°，PE＝PG從而得出四邊形PEFD為平行四邊形；根據勾股定理和等量代換求出邊長DF的值；根據相似三角形得出對應邊成比例求出GH的值，從而求出高PH 的值；最后根據面積公式得出

解：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD＝AB，

∵四邊形ABPM為矩形，

∴AB＝PM，

∴AD＝PM，

∵DF⊥PG，

∴∠DHG＝90°，

∴∠GDH+∠DGH＝90°，

∵∠MGP+∠MPG＝90°，

∴∠GDH＝∠MPG，

在△ADF和△MPG中，

∴△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF＝PG；

（2）作PM⊥DG于M，如圖，

∵PD＝PG，

∴MG＝MD，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴PCDM為矩形，

∴PC＝MD，

∴DG＝2PC＝2；

∵△ADF≌△MPG（ASA），

∴DF＝PG，

而PD＝PG，

∴DF＝PD，

∵線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，

∴∠EPG＝90°，PE＝PG，

∴PE＝PD＝DF，

而DF⊥PG，

∴DF∥PE，

即DF∥PE，且DF＝PE，

∴四邊形PEFD為平行四邊形，

在Rt△PCD中，PC＝1，CD＝3，

∴PD＝＝，

∴DF＝PG＝PD＝，

∵四邊形CDMP是矩形，

∴PM＝CD＝3，MD＝PC＝1，

∵PD＝PG，PM⊥AD，

∴MG＝MD＝1，DG＝2，

∵∠GDH＝∠MPG，∠DHG＝∠PMG＝90°，

∴△DHG∽△PMG，

∴，

∴GH＝＝，

∴PH＝PG﹣GH＝﹣＝，

∴四邊形PEFD的面積＝DFPH＝×＝8．