Question

【題目】如圖，在中，，點，分別是，上的點，，相交于點，.

（1）如圖1，求證：；

（2）作交的延長線于點，.

①如圖2，求證：；

②如圖3，過點作于點，若，，直接寫出的長為______.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②4.

【解析】

（1）根據三角形的外角性質得到∠APE=∠ABP+∠BAD，得到∠APE=∠ABC，根據等腰三角形的性質得到∠C=∠ABC，等量代換證明結論；
（2）①過點作于點，于點，證明，得到EH=EG，根據角平分線的判定定理得到∠ADF=∠CDF，根據平行線的性質、等腰三角形的判定定理證明；
②根據全等三角形的性質得到PH=GC，DH=DG，結合圖形列式計算得到答案．

（1）證明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2））①證明：過點作于點，于點，

∵，，，

∴，

∴，

∴平分，

即，

∵，

∴，

∴

∴；

②解：如圖，作EH⊥AD于H，

由（2）①可知，△EHP≌△EGC，
∴PH=GC，
在△DEH和△DEG中，
，
∴△DEH≌△DEG（AAS）
∴DH=DG，
∴DG=DH=DP+PH=1+GC，
∴1+GC+GC=7，
解得，GC=3，
∴DG=DC-GC=7-3=4，
故答案為：4．