Question

【題目】如圖1所示，拋物線交x軸于點和點，交y軸于點．

求拋物線的函數表達式；

如圖2所示，若點M是拋物線上一動點，且，求點M的坐標；

如圖3所示，設點N是線段AC上的一動點，作軸，交拋物線于點P，求線段PN長度的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點P坐標為或或或； 線段PN長度最大值為4．

【解析】

（1）把函數設為交點式，代入C點坐標，進而求出a的值即可；
（2）設M點坐標為（x，-x2-3x+4），根據S△AOM=3S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；
（3）先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=x+4，再設N點坐標為（x，x+4），則P點坐標為（x，-x2-3x+4），然后用含x的代數式表示PN，根據二次函數的性質即可求出線段PN長度的最大值．

解：（1）把函數設為交點式，

由，得，把代入，得，

故拋物線的解析式為；

（2）設M點坐標為，

，

，

整理得或，

解得或，

則符合條件的點P坐標為或或或；

（3）設直線AC的解析式為，將，代入，

，

解得，

即直線AC的解析式為，

設點N坐標為，，則P點坐標為，

設，則，

即當時，y有最大值4，

故線段PN長度最大值為4．