Question

【題目】如圖，在中，，，在中，，，點在線段上，點在線段的延長線上．將繞點順時針方向旋轉60°得到（點的對應點為，點的對應點為點），連接、，過點作，垂足為，直線交線段于，則的長為__________．

Answer 1

【答案】7+ .

【解析】

先畫出圖形，過點B作E′C的垂線交其延長線于F點，過點D′作CM的垂線交CM于H點，過A點作CM的垂線交其延長線于G點．在Rt△BFC求出BF，再在△BE′F用“面積法”求CN，證明△ACG≌△BCN，△CD′H≌△CE′N，將有關線段轉化，可求CM，從而可求MN．

解：如圖，若將△DCE繞點C順時針旋轉60°得到△D′CE′，

過點B作E′C的垂線交其延長線于F點，過點D′作CM的垂線交CM于H點，過A點作CM的垂線交其延長線于G點．
∵∠ACD′=60°，∠ACB=∠D′CE′=90°，
∴∠BCE′=360°-∠ACD′-∠ACB-∠D′CE′=120°．
∴∠BCF=180°-∠BCE′=60°，

∴∠FBC=30°，

∴FC=5，
∴BF= ，

∴S△BCE′=BFCE′= ，

∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，
∴∠ACG=∠CBN，
又∵AC=BC，
∴Rt△ACG≌Rt△CBN，
∴AG=CN，CG=BN．
同理△CD′H≌△E′CN，D′H=CN，CH=NE′．
∴AG=D′H，
在△AMG和△D′MH中，

，

∴△AMG≌△D′MH，
∴HM=MG，
∴M為GH中點，CM= ，

又∵BF= ，∠BCF=60°，
∴CF=5，FE′=CF+CE′=11，
∴BE′=，

∴CM=BE′=7．
又∵S△BCE′=CNBE′，
∴CN=2S△BCE′÷BE′=

∴MN=CM+CN=7+ .

故答案是：7+ .