Question

【題目】如圖四邊形ABCD是菱形，且∠ABC=60，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM，則下列五個結論中正確的是（ ）
①若菱形ABCD的邊長為1，則AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四邊形AMBE=S四邊形ADCM；
④連接AN，則AN⊥BE；
⑤當AM+BM+CM的最小值為2 時，菱形ABCD的邊長為2．

A.①②③
B.②④⑤
C.①②⑤
D.②③⑤

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①連接AC，交BD于點O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO
∴點A，點C關于直線BD對稱，
∴M點與O點重合時AM+CM的值最小為AC的值
∵∠ABC=60，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，
∵AB=1，
∴AC=1，
即AM+CM的值最小為1，故本答案正確．
②∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，
∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正確．
③∵S△ABE+S△ABM=S四邊形AMBE
S△ACD+S△AMC=S四邊形ADCM ， 且S△AMB≠S△AMC ，
∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC ，
∴S四邊形AMBE≠S四邊形ADCM ， 故本答案錯誤．
④假設AN⊥BE，且AE=AB，
∴AN是BE的垂直平分線，
∴EN=BN=BM=MN，
∴M點與O點重合，
∵條件沒有確定M點與O點重合，故本答案錯誤．
⑤如圖，連接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，
∴△BMN是等邊三角形．
∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根據“兩點之間線段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長．
過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，
∴∠EBF=180°﹣120°=60°，設菱形的邊長為x，
∴BF= x，EF= x，在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2=EC2 ，
∴ + = ，解得x=2，故本答案正確．
綜上所述，正確的答案是：①②⑤，
故選C．

（1）連接AC，根據“兩點之間線段最短”，可得，當M點落在BD的中點時，AM+CM的值最小；（2）由題意得MB=NB，∠ABN=30°，所以∠EBN=30°，容易證出△AMB≌△ENB；（3）連接AC，可以得到S△ABE=S△ADC ， S△AMB≠S△AMC ， 從而可以得出結論．（4）假設AN⊥BE，根據等腰三角形的性質及垂直平分線的性質得出EN=BN，從而得出結論．（5）根據“兩點之間線段最短”，當M點位于BD與CE的交點處時，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長，（如圖）作輔助線，過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F，由題意求出∠EBF=60°，設菱形的邊長為x，在Rt△EFC中，根據勾股定理求得菱形的邊長．