Question

【題目】如圖1，已知點A（2，0），B（0，4），∠AOB的平分線交AB于C，一動點P從O點出發，以每秒2個單位長度的速度，沿y軸向點B作勻速運動，過點P且平行于AB的直線交x軸于Q，作P、Q關于直線OC的對稱點M、N．設P運動的時間為t（0＜t＜2）秒．

（1）求C點的坐標，并直接寫出點M、N的坐標（用含t的代數式表示）；
（2）設△MNC與△OAB重疊部分的面積為S．
①試求S關于t的函數關系式；
②在圖2的直角坐標系中，畫出S關于t的函數圖象，并回答：S是否有最大值？若有，寫出S的最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如答圖1，過點C作CF⊥x軸于點F，CE⊥y軸于點E，

由題意，易知四邊形OECF為正方形，設正方形邊長為x．

∵CE∥x軸，

∴ ，即 ，解得x= ．

∴C點坐標為（ ， ）；

∵PQ∥AB，

∴ ，即 ，

∴OP=2OQ．

∵P（0，2t），

∴Q（t，0）．

∵對稱軸OC為第一象限的角平分線，

∴對稱點坐標為：M（2t，0），N（0，t）．

（2）

解：①當0＜t≤1時，如答圖2﹣1所示，點M在線段OA上，重疊部分面積為S△CMN．

S△CMN=S四邊形CMON﹣S△OMN

=（S△COM+S△CON）﹣S△OMN

=（ 2t× + t× ）﹣ 2tt

=﹣t2+2t；

當1＜t＜2時，如答圖2﹣2所示，點M在OA的延長線上，設MN與AB交于點D，則重疊部分面積為S△CDN．

設直線MN的解析式為y=kx+b，將M（2t，0）、N（0，t）代入得 ，

解得 ，

∴y=﹣ x+t；

同理求得直線AB的解析式為：y=﹣2x+4．

聯立y=﹣ x+t與y=﹣2x+4，求得點D的橫坐標為 ．

S△CDN=S△BDN﹣S△BCN

= （4﹣t） ﹣ （4﹣t）×

= t2﹣2t+ ．

綜上所述，S= ．

②畫出函數圖象，如答圖2﹣3所示：

觀察圖象，可知當t=1時，S有最大值，最大值為1．

【解析】（1）如答圖1，作輔助線，由比例式求出點D的坐標；（2）①所求函數關系式為分段函數，需要分類討論．答圖2﹣1，答圖2﹣2表示出運動過程中重疊部分（陰影）的變化，分別求解；②畫出函數圖象，由兩段拋物線構成．觀察圖象，可知當t=1時，S有最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．