Question

【題目】如圖，O為菱形ABCD對角線的交點，M是射線CA上的一個動點（點M與點C、O、A都不重合），過點A、C分別向直線BM作垂線段，垂足分別為E、F，連接OE，OF．

（1）①依據題意補全圖形；

②猜想OE與OF的數量關系為_________________.

（2）小東通過觀察、實驗發現點M在射線CA上運動時，（1）中的猜想始終成立．

小東把這個發現與同學們進行交流，通過討論，形成了證明（1）中猜想的幾種想法：

想法1：由已知條件和菱形對角線互相平分，可以構造與△OAE全等的三角形，從而得到相等的線段，再依據直角三角形斜邊中線的性質，即可證明猜想；

想法2：由已知條件和菱形對角線互相垂直，能找到兩組共斜邊的直角三角形，例如其中的一組△OAB和△EAB，再依據直角三角形斜邊中線的性質，菱形四邊相等，可以構造一對以OE和OF為對應邊的全等三角形，即可證明猜想．

……

請你參考上面的想法，幫助小東證明（1）中的猜想（一種方法即可）．

（3）當∠ADC=120°時，請直接寫出線段CF，AE，EF之間的數量關系是_________________．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②OE=OF；（2）見解析；（3）EF=（CF+AE）

【解析】

（1）①由題意直接補全圖形，②結論是OE=OF，
（2）方法1、先判斷出△AOE≌△CON，再利用直角三角形的性質即可得出結論；
方法2、利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，即可得出結論；
（3）先判斷出四邊形OPBQ是菱形，再判斷出∠EOF=∠POQ=120°，再借助直角三角形的性質即可得出結論．

解：（1）①補全的圖形如圖所示．

②OE=OF．

（2）法一：

證明：如圖1，

延長EO交FC的延長線于點N，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AO=CO．

∵AE⊥BM，CF⊥BM，

∴AE∥CF．

∴∠AEO=∠CNO．

又∵∠AOE=∠CON，

∴△AOE≌△CON．

∴OE=ON=．

∵Rt△EFN中，O是斜邊EN的中點，

∴OF=

∴OE=OF．

法二：

證明：如圖2，

取線段AB，BC的中點P，Q，連接OP，PE，OQ，QF，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC，AC⊥BD．

∵P，Q是AB，BC的中點，

∴OP=PB= ，OQ=QB=

∴OP=OQ．

同理，PE=QF．

∵OP=PB，PE=PB，

∴∠OPA=2∠OBA，∠EPA=2∠EBA．

∴∠OPA+∠EPA=2∠OBA+2∠EBA，即∠OPE=2∠OBE．

同理，∠OQF=2∠OCF．

∵AC⊥BD，CF⊥BM，

∴∠OBE+∠OMB=∠OCF+∠OMB=90°．

∴∠OBE=∠OCF．

∴∠OPE=∠OQF．

∴△OPE≌△OQF．

∴OE=OF．

（3）如圖1，

由（2）方法一、得出△AOE≌△CON，

∴AE=CN，OE=ON，

由（2）知，OE=OF，∴OF=ON，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABC=∠ADC=120°，

∴∠ABE+∠CBF=60°，

∵∠AOB=∠AEB=90°，

∴點A、E、B、O共圓，

∴∠AOE=∠ABE，

同理：∠COF=∠CBF，

∴∠NOF=∠NOC+∠COF=∠AOE+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，

∵OF=ON，

∴△FON是等邊三角形，

∴∠ONF=60°，

∴∠FEN=30°，

在Rt△EFN中，∠FEN=30°，

∴EF=FN=（CF+CN）=（CF+AE）．

故答案為EF=（CF+AE）