Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C做⊙O 的切線，與AE的延長線交于點D，且AD⊥CD．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若AB=10，CD=4，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE=2

【解析】

（1）連接OC，利用切線的性質可得出OC∥AD，再根據平行線的性質得出∠DAC=∠OCA，又因為∠OCA=∠OAC，繼而可得出結論；

（2）方法一：連接BE交OC于點H，可證明四邊形EHCD為矩形，再根據垂徑定理可得出，得出，從而得出，再通過三角形中位線定理可得出，繼而得出結論；方法二：連接BC、EC，可證明△ADC∽△ACB，利用相似三角形的性質可得出AD=8，再證△DEC∽△DCA，從而可得出結論；方法三：連接BC、EC，過點C做CF⊥AB，垂足為F，利用已知條件得出OF=3，再證明△DEC≌△CFB，利用全等三角形的性質即可得出答案．

解：（1）證明：連接OC，

∵CD切☉O于點C

∴OC⊥CD

∵AD⊥CD

∴∠D=∠OCD=90°

∴∠D+∠OCD=180°

∴OC∥AD

∴∠DAC=∠OCA

∵OA=OC

∴∠OCA=∠OAC

∴∠DAC=∠OAC

∴AC平分DAB

（2）方法1：連接BE交OC于點H

∵AB是☉O直徑

∴∠AEB=90°

∴∠DEC=90°

∴四邊形EHCD為矩形

∴CD=EH=4

DE=CH

∴∠CHE=90°

即OC⊥BH

∴EH=BE=4

∴BE=8

∴在Rt△AEB中

AE=6

∵EH=BH

AO=BO

∴OH=AE=3

∴CH=2

∴DE=2

方法2：

連接BC、EC

∵AB是直徑

∴∠ACB=90°

∴∠D=∠ACB

∵∠DAC=∠CAB

∴△ADC∽△ACB

∴

∠B=∠DCA

∴AC2=10·AD

∵AC2=AD2+CD2

∴10·AD=AD2+16

∴AD=2舍AD=8

∵四邊形ABCE內接于☉O

∴∠B+∠AEC=180°

∵∠DEC+∠AEC=180°

∴∠B=∠DEC

∴∠DEC=∠DCA

∵∠D=∠D

∴△DEC∽△DCA

∴

∴CD2=AD·DE

∴16=8·DE

∴DE=2；

方法3：

連接BC、EC，過點C做CF⊥AB，垂足為F

∵CD⊥AD，∠DAC=∠CAB

∴CD=CF=4，∠D=∠CFB=90°

∵AB=10

∴OC=OB=5

∴OF=3

∴BF=OB-OF=5-3=2

∵四邊形ABCE內接于☉O

∴∠B+∠AEC=180°

∵∠DEC+∠AEC=180°

∴∠B=∠DEC

∴△DEC≌△CFB

∴DE=FB=2．