Question

【題目】已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于O、B兩點，其頂點A坐標為（1，1），點C為拋物線在第四象限內的一點，其坐標為（3，﹣3）．

（1）求拋物線解析式；

（2）點D為拋物線在第三象限內的一點，過點D向x軸作垂線段，垂足為H，是否存在點D使得△DHO與△AOC相似，如果存在，請求出點D坐標，如果不存在，請說明理由；

（3）點E、F分別為拋物線以及拋物線對稱軸上的兩動點，請問是否存在以BO為邊，B、O、E、F為頂點的平行四邊形，如果存在請直接寫出點E坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x；（2）存在，D（﹣1，﹣3）；（3）存在，點E的坐標為（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）．

【解析】

（1）由題意設出頂點式解析式y＝a（x﹣1）2+1，再將點C代入即可；

（2）設點D的坐標為（m，﹣m2+2m），作DH⊥x軸，垂直為H，連接OD．分別求出AO＝，OC＝3，分兩種情況①＝，則＝＝，由HO＝﹣m，HD＝m2﹣2m，可得＝，解得即可；②＝，則＝＝，由HO＝﹣m，HD＝m2﹣2m，可得＝，解得即可；

（3）設點E（a，﹣a2+2a），則F（1，﹣a2+2a），①當OEFB為平行四邊形時，OB＝EF，所以1﹣a＝2，則E（﹣1，﹣3）；②當OFEB為平行四邊形時，OB＝FE，所以a﹣1＝2，即可得出點E的坐標．

解：（1）由題意可設拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+1，

∵拋物線經過點C（3，﹣3），

∴﹣3＝a（3﹣1）2+1，

∴a＝﹣1，

∴y＝﹣x2+2x；

（2）設點D的坐標為（m，﹣m2+2m），作DH⊥x軸，垂直為H，連接OD．

∵A（1，1），C（3，﹣3），

∴點A、C分別在一、三象限角平分線與二、四象限角平分線上，

∴∠AOC＝90°，

∴AO＝，OC＝3，

若△DHO與△AOC相似，

∵∠DHO＝∠AOC＝90°，

①＝，

∴＝＝，

∵HO＝﹣m，HD＝m2﹣2m，

∴＝，

解得m＝﹣1或m＝0（舍），

∴D（﹣1，3）；

②＝，

∴＝＝，

∵HO＝﹣m，HD＝m2﹣2m，

∴＝，

解得m＝（舍）或m＝0（舍）；

綜上所述：D（﹣1，﹣3）；

（3）存在，點E的坐標為（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）．

理由如下：以BO為邊，B、O、E、F為頂點的平行四邊形，

∴OB∥EF且OB＝EF＝2，

設點E（a，﹣a2+2a），則F（1，﹣a2+2a），

①當OEFB為平行四邊形時，OB＝EF，

∴1﹣a＝2，

∴a＝﹣1，

∴E（﹣1，﹣3）；

②當OFEB為平行四邊形時，OB＝FE，

∴a﹣1＝2，

∴a＝3，

∴E（3，﹣3）；

綜上所述，存在以BO為邊，B、O、E、F為頂點的平行四邊形，點E的坐標為（﹣1，﹣3）或（3，﹣3）．