Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以OA為直徑在第一象限內作半圓C，點B是該半圓周上的一動點，連結OB、AB，并延長AB至點D，使DB＝AB，過點D作x軸垂線，分別交x軸、直線OB于點E、F，點E為垂足，連結CF.

（1）當∠AOB＝30°時，求弧AB的長；

（2）當DE＝8時，求線段EF的長；

（3）在點B運動過程中，是否存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，若存在，請求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】；3；存在

【解析】

試題分析：（1）連結BC,

∵A（10，0）,∴OA=10,CA=5,

∵∠AOB=30°,

∴∠ACB=2∠AOB=60°,

∴弧AB的長=;……4分

（2）連結OD,

∵OA是⊙C直徑,∴∠OBA=90°,

又∵AB=BD,

∴OB是AD的垂直平分線,

∴OD=OA=10,

在Rt△ODE中，

OE=,

∴AE=AO－OE=10-6=4,

由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA,

∴,即，∴EF=3；……8分

（3）設OE=x，

①當交點E在O，C之間時，由以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，當∠ECF=∠BOA時，此時△OCF為等腰三角形，點E為OC中點，即OE=，

∴E1（，0）；

當∠ECF=∠OAB時，有CE=5-x,AE=10-x，

∴CF∥AB,有CF=,

∵△ECF∽△EAD,

∴,即,解得：,

∴E2（，0）;

②當交點E在點C的右側時，

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

連結BE，

∵BE為Rt△ADE斜邊上的中線，

∴BE=AB=BD,

∴∠BEA=∠BAO,

∴∠BEA=∠ECF,

∴CF∥BE,∴,

∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,∴,

而AD=2BE,∴,

即,解得,＜0（舍去），

∴E3（，0）;

③當交點E在點O的左側時，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF.

∴要使△ECF與△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO

連結BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA,

∴CF∥BE,

∴,

又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,∴，

而AD=2BE,∴,

∴,解得,＜0（舍去）,

∵點E在x軸負半軸上,∴E4（，0）,

綜上所述：存在以點E、C、F為頂點的三角形與△AOB相似,此時點E坐標為：

（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．（12分）