Question

如圖，圓M與x軸相交于A，B兩點，其坐標分別為A（-3，0），B（1，0），直徑CD垂直于x軸于N，直線CE切圓M于C，直線FG切圓M于F，交CE于G，已知點G的橫坐標為3，
（1）若拋物線y=-x²-2x+m經過A，B，D三點，求m的值及點D的坐標；
（2）求直線DF的解析式；
（3）是否存在過點G的直線，使它與（1）中拋物線的兩個交點的橫坐標之和等于4？若存在，請求出滿足條件的直線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=-x²-2x+m過點A，B兩點，
∴-3×1=-m，
∴拋物線為y=-x²-2x+3，
又∵拋物線過點D，由圓的對稱性知點D為拋物線的頂點，
∴D點坐標為（-1，4）．

（2）由題意知AB=4，
∵CD⊥x軸，
∴NA=NB=2，
∴ON=1，
由相交弦定理得NA•NB=ND•NC，
∴NC×4=2×2，NC=1，
∴C的坐標為（-1，-1），
設直線DF交CE于P，連接CF，得∠CFP=90°，
∵CG，FG為圓M的切線，
∴FG=GC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠FPC，
∴FG=GP，
∴GC=GP，
可得CP=8，
∴P點的坐標為（7，-1）；
設直線DF的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-k+b=4 7k+b=-1

解得

k=- 5 8 b= 27 8

∴直線DF的解析式為y=-

5

8

x+

27

8

；

（3）假設存在過G的直線y=k₁x+b₁，
則3k₁+b₁=-1，
∴b₁=-3k₁-1，
解方程組

y=k1x-3k1-1 y=-x2-2x+3

，
得x²+（2+k₁）x-3k₁-4=0，
由題意得-2-k₁=4，
∴k₁=-6，
∴△=-40＜0，
∴方程無實數根，
∴方程組無實數解；
∴滿足條件的直線不存在．