Question

如圖，設拋物線C₁：y=a（x+1）²-5，C₂：y=-a（x-1）²+5，C₁與C₂的交點為A，B，點A的坐標是（2，4），點B的橫坐標是-2．
（1）求a的值及點B的坐標；
（2）點D在線段AB上，過D作x軸的垂線，垂足為點H，在DH的右側作正三角形DHG．記過C₂頂點M的直線為l，且l與x軸交于點N．
①若l過△DHG的頂點G，點D的坐標為（1，2），求點N的橫坐標；
②若l與△DHG的邊DG相交，求點N的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

（1）∵點A（2，4）在拋物線C₁上，
∴把點A坐標代入y=a（x+1）²-5得a=1，
∴拋物線C₁的解析式為y=x²+2x-4，
設B（-2，b），
∴b=-4，
∴B（-2，-4）；

（2）①如圖
∵M（1，5），D（1，2），且DH⊥x軸，
∴點M在DH上，MH=5，
過點G作GE⊥DH，垂足為E，
由△DHG是正三角形，可得EG=

3

，EH=1，
∴ME=4，
設N（x，0），則NH=x-1，
由△MEG∽△MHN，得

ME

MH

=

EG

HN

，
∴

4

5

=

3

x-1

，
∴x=

5

4

3

+1，
∴點N的橫坐標為

5

4

3

+1；
②當點D移到與點A重合時，如圖，
直線l與DG交于點G，此時點N的橫坐標最大；
過點G，M作x軸的垂線，垂足分別為點Q，F(xiàn)，
設N（x，0），
∵A（2，4），即AH=4，且△AGH為等邊三角形，
∴∠AHG=60°，HG=AH=4，
∴∠GHQ=30°，又∠GQH=90°，
∴GQ=

1

2

HG=2，HQ=

42-22

=2

3

，
∴OQ=OH+HQ=2+2

3

，
∴G（2+2

3

，2），
∴NQ=x-2-2

3

，NF=x-1，GQ=2，MF=5，
∵△NGQ∽△NMF，
∴

NQ

NF

=

GQ

MF

，
∴

x-2-2 3

x-1

=

2

5

，
∴x=

10 3 +8

3

，
當點D移到與點B重合時，如圖：
直線l與DG交于點D，即點B，
此時點N的橫坐標最小；
∵B（-2，-4），
∴H（-2，0），D（-2，-4），
設N（x，0），
∵△BHN∽△MFN，
∴

NH

FN

=

BH

MF

，
∴

x+2

1-x

=

4

5

，
∴x=-

2

3

，
∴點N橫坐標的范圍為-

2

3

≤x≤

10 3 +8

3

且x≠0．