Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點B的坐標為（3，0），直線y=﹣x+3恰好經過B，C兩點

（1）寫出點C的坐標；

（2）求出拋物線y=x2+bx+c的解析式，并寫出拋物線的對稱軸和點A的坐標；

（3）點P在拋物線的對稱軸上，拋物線頂點為D且∠APD=∠ACB，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）C（0，3）；（2）y=x2﹣4x+3=（x-1）（x-3），對稱軸為x=2，點A（1，0）；（3）（2，2）或（2，﹣2）

【解析】

試題分析：（1）由直線y=﹣x+3可求出C點坐標；

（2）由B，C兩點坐標便可求出拋物線方程，從而求出拋物線的對稱軸和A點坐標；

（3）作出輔助線OE，由三角形的兩個角相等，證明△AEC∽△AFP，根據兩邊成比例，便可求出PF的長度，從而求出P點坐標．

試題解析：（1）y=﹣x+3與y軸交于點C，故C（0，3）．

（2）∵拋物線y=x2+bx+c過點B，C，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3=（x﹣1）×（x﹣3），

∴對稱軸為x=2，點A（1，0）．

（3）由y=x2﹣4x+3，

可得D（2，﹣1），A（1，0），

∴OB=3，OC=3，OA=1，AB=2，

可得△OBC是等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，．

如圖，設拋物線對稱軸與x軸交于點F，

∴AF=AB=1．

過點A作AE⊥BC于點E．

∴∠AEB=90度．

可得，．

在△AEC與△AFP中，∠AEC=∠AFP=90°，∠ACE=∠APF，

∴△AEC∽△AFP．

∴，

解得PF=2．

或者直接證明△ABC∽△ADP得出PD=3，

再得PF=2．

∵點P在拋物線的對稱軸上，

∴點P的坐標為（2，2）或（2，﹣2）．