Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C、D在⊙O上，點E在⊙O外，∠EAC＝∠D＝60°.

(1)求證：AE是⊙O的切線；

(2) 連接OC,當BC＝3時，求劣弧AC的長和扇形B0C的面積．

Answer 1

【答案】(1)見詳解;(2)劣弧AC的長為2π；和扇形BOC的面積為;

【解析】

（1）因為AB是圓O直徑，根據半圓（或直徑）所對的圓周角是直角得出∠ACB=90°，又因為∠D=60°，所以其在同一個圓中，同弧對應的圓周角相等，即∠B=60°，所以∠CAB=30°，從而證明∠BAE為90°，所以AE是圓O的切線

（2）連接OC，由∠D=60°得到劣弧AC對應的圓心角為120°，再得出三角形BOC是等邊三角形從而知道半徑長，再利用弧長公式（其中為n°的圓心角所對弧的長，R為圓的半徑）求出弧長即可；先求出劣弧BC對應的圓心角度數，然后利用扇形面積公式（，其中為n°的圓心角所對扇形的面積，R為圓的半徑）求解即可

（1）∵AB是圓O直徑

∴∠ACB=90°

又∵∠D=60°

∴∠B=60°

∴∠CAB=30°

又∵∠EAC＝60°

∴∠EAC+∠CAB=90°

∴∠BAE=90°

∴AE是⊙O的切線

（2）如圖

∵∠D=60°

∴∠AOC=120°

∴∠BOC=60°

又∵OB=OC

∴△BOC為等邊三角形

∴OC=3

∴劣弧AC的長==

∵∠BOC=60°

∴扇形BOC的面積==