Question

【題目】如圖，點A，B，C分別是⊙O上的點，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直徑，P是CD延長線上的一點，且AP=AC．

（1）求證：AP是⊙O的切線；
（2）求PD的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OA．

∵∠B=60°，

∴∠AOC=2∠B=120°，

又∵OA=OC，

∴∠ACP=∠CAO=30°，

∴∠AOP=60°，

∵AP=AC，

∴∠P=∠ACP=30°，

∴∠OAP=90°，

∴OA⊥AP，

∴AP是⊙O的切線，

（2）解：連接AD．

∵CD是⊙O的直徑，

∴∠CAD=90°，

∴AD=ACtan30°=3× = ，

∵∠ADC=∠B=60°，

∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°，

∴∠P=∠PAD，

∴PD=AD= ．

【解析】（1）連接OA，由直徑所對的圓周角為90°可得到∠DAC=90°，故此可得到∠ACP=∠APC=30°，然后再求得∠AOP=60°，從而得到∠PAO=90°；（2）由直徑所對的圓周角為90°可得到∠DAC=90°，然后利用三角函數與等腰三角形的判定定理可求得PD的長.
【考點精析】利用圓周角定理和切線的判定定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．