Question

【題目】已知x2+（a+3）x+a+1=0是關于x的一元二次方程．
（1）求證：方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根為x1 ， x2 ， 且x12+x22=10，求實數a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：△=（a+3）2﹣4（a+1）

=a2+6a+9﹣4a﹣4

=a2+2a+5

=（a+1）2+4，

∵（a+1）2≥0，

∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，

∴方程總有兩個不相等的實數根；

（2）解：根據題意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，

∵x12+x22=10，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，

∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，

整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+ ，a2=﹣2﹣ ，

即a的值為﹣2+ 或﹣2﹣ ．

【解析】（1）先求得一元二次方程根的判別式△=a2+2a+5，然后再利用配方法可求得△＞0，從而可得到問題的答案；
（2）先依據一元二次方程根與系數的關系得到x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，然后依據平方公式可得到（x1+x2）2﹣2x1x2=10，從而可得到關于a的一元二次方程，于是可求得a的值.
【考點精析】掌握求根公式和根與系數的關系是解答本題的根本，需要知道根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數根2、當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數根3、當△<0時，一元二次方程沒有實數根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商．