Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣ x2+ x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點E．

（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）經過B，C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，點P為直線BC上方拋物線上的一動點，當△PCD的面積最大時，Q從點P出發，先沿適當的路徑運動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y軸上的點N處，最后沿適當的路徑運動到點A處停止．當點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標及點Q經過的最短路徑的長；
（3）如圖2，平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應點為點E′，點A的對應點為點A′，將△AOC繞點O順時針旋轉至△A1OC1的位置，點A，C的對應點分別為點A1 ， C1 ， 且點A1恰好落在AC上，連接C1A′，C1E′，△A′C1E′是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E′的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：△ABC為直角三角形，

當y=0時，即﹣ x2+ x+3=0，

∴x1=﹣ ，x2=3

∴A（﹣ ，0），B（3 ，0），

∴OA= ，OB=3 ，

當x=0時，y=3，

∴C（0，3），

∴OC=3，

根據勾股定理得，AC2=OB2+OC2=12，BC2=OB2+OC2=36，

∴AC2+BC2=48，

∵AB2=[3 ﹣（﹣ ）]2=48，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形

（2）

解：如圖，

∵B（3 ，0），C（0，3），

∴直線BC解析式為y=﹣ x+3，

過點P作∥y軸，

設P（a，﹣ a2+ a+3），

∴G（a，﹣ a+3），

∴PG=﹣ a2+ a，

設點D的橫坐標為xD，C點的橫坐標為xC，

S△PCD= ×（xD﹣xC）×PG=﹣ （a﹣ ）2+ ，

∵0＜a＜3 ，

∴當a= 時，S△PCD最大，此時點P（ ， ），

將點P向左平移 個單位至P′，連接AP′，交y軸于點N，過點N作MN⊥拋物線對稱軸于點M，

連接PM，點Q沿P→M→N→A，運動，所走的路徑最短，即最短路徑的長為PM+MN+NA的長，

∴P（ ， ）

∴P′（ ， ），

∵點A（﹣ ，0），

∴直線AP′的解析式為y= x+ ，

當x=0時，y= ，

∴N（0， ），

過點P′作P′H⊥x軸于點H，

∴AH= ，P′H= ，AP′= ，

∴點Q運動得最短路徑長為PM+MN+AN= + = ；

（3）

解：在Rt△AOC中，

∵tan∠OAC= = ，

∴∠OAC=60°，

∵OA=OA1，

∴△OAA1為等邊三角形，

∴∠AOA1=60°，

∴∠BOC1=30°，

∵OC1=OC=3，

∴C1（ ， ），

∵點A（﹣ ，0），E（ ，4），

∴AE=2 ，

∴A′E′=AE=2 ，

∵直線AE的解析式為y= x+2，

設點E′（a， a+2），

∴A′（a﹣2 ， ﹣2）

∴C1E′2=（a﹣2 ）2+（ +2﹣ ）2= a2﹣ a+7，

C1A′2=（a﹣2 ﹣ ）2+（ ﹣2﹣ ）2= a2﹣ a+49，

①若C1A′=C1E′，則C1A′2=C1E′2

即： a2﹣ a+7= a2﹣ a+49，

∴a= ，

∴E′（ ，5），

②若A′C1=A′E′，

∴A′C12=A′E′2

即： a2﹣ a+49=28，

∴a1= ，a2= ，

∴E′（ ，7+ ），或（ ，7﹣ ），

③若E′A′=E′C1，

∴E′A′2=E′C12

即： a2﹣ a+7=28，

∴a1= ，a2= （舍），

∴E′（ ，3+ ），

即，符合條件的點E′（ ，5），（ ，7+ ），或（ ，7﹣ ），（ ，3+ ）

【解析】（1）先求出拋物線與x軸和y軸的交點坐標，再用勾股定理的逆定理判斷出△ABC是直角三角形；（2）先求出S△PCD最大時，點P（ ， ），然后判斷出所走的路徑最短，即最短路徑的長為PM+MN+NA的長，計算即可；（3）△A′C1E′是等腰三角形，分三種情況分別建立方程計算即可．此題是二次函數綜合題，主要考查了函數極值的確定方法，等邊三角形的判定和性質，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質，解本題的關鍵是分類討論，也是解本題的難點．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的最值的相關知識，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a，以及對勾股定理的逆定理的理解，了解如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．