Question

【題目】給出如下規(guī)定：兩個(gè)圖形G1和G2 ， 點(diǎn)P為G1上任一點(diǎn)，點(diǎn)Q為G2上任一點(diǎn)，如果線段PQ的長(zhǎng)度存在最小值，就稱該最小值為兩個(gè)圖形G1和G2之間的距離．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1，0），則點(diǎn)B（2，3）和射線OA之間的距離為 ， 點(diǎn)C（﹣2，3）和射線OA之間的距離為；
（2）如果直線y=x+1和雙曲線y= 之間的距離為 ，那么k=；（可在圖1中進(jìn)行研究）

（3）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1， ），將射線OE繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，得到射線OF，在坐標(biāo)平面內(nèi)所有和射線OE，OF之間的距離相等的點(diǎn)所組成的圖形記為圖形M．
①請(qǐng)?jiān)趫D2中畫(huà)出圖形M，并描述圖形M的組成部分；（若涉及平面中某個(gè)區(qū)域時(shí)可以用陰影表示）．
②將射線OE，OF組成的圖形記為圖形W，直線y=﹣2x﹣4與圖形M的公共部分記為圖形N，請(qǐng)求出圖形W和圖形N之間的距離．

Answer 1

【答案】
（1）3；
（2）﹣4
（3）

解：①如圖，x軸正半軸，∠GOH的邊及其內(nèi)部的所有點(diǎn)（OH、OG分別與OE、OF垂直），

；

②由①知OH所在直線解析式為y=﹣ x，OG所在直線解析式為y= x，

由 得 ，即點(diǎn)M（﹣ ， ），

由 得： ，即點(diǎn)N（﹣ ， ），

則﹣ ≤x≤﹣ ，

圖形N（即線段MN）上點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（x，﹣2x﹣4），

即圖形W與圖形N之間的距離為d，

d=

=

=

∴當(dāng)x=﹣ 時(shí)，d的最小值為 = ，

即圖形W和圖形N之間的距離 ．

【解析】解：（1）點(diǎn)（2，3）和射線OA之間的距離為3，點(diǎn)（﹣2，3）和射線OA之間的距離為 = ，
故答案分別為：3， ；
·（2）∵直線y=x+1和雙曲線y= 之間的距離為 ，
∴k＜0（否則直線y=x+1和雙曲線y= 相交，它們之間的距離為0）．
過(guò)點(diǎn)O作直線y=x+1的垂線y=﹣x，與雙曲線y= 交于點(diǎn)E、F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸，如圖1，

由 得 ，即點(diǎn)F（﹣ ， ），
則OF= = ，
∴OE=OF+EF=2 ，
在Rt△OEG中，∠EOG=∠OEG=45°，OE=2 ，
則有OG=EG= OE=2，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，2），
∴k=﹣2×2=﹣4，
故答案為：﹣4；
（1）只需根據(jù)新定義即可解決問(wèn)題；（2）過(guò)點(diǎn)O作直線y=x+1的垂線，與雙曲線y= 交于點(diǎn)E、F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸，如圖1，根據(jù)新定義可得直線y=﹣x和雙曲線y= 之間的距離就是線段EF的長(zhǎng)，如何只需求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出k的值；（3）①過(guò)點(diǎn)O分別作射線OE、OF的垂線OH、OG，如圖2，根據(jù)新定義可得圖形M為x軸的正半軸、∠GOH的邊及其內(nèi)部所有的點(diǎn)；②設(shè)直線y=﹣2x﹣4與射線OH的交點(diǎn)為M，與射線OG的交點(diǎn)為N，先求得M、N的坐標(biāo)，得出x的范圍，如圖2，圖形N上點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（x，﹣2x﹣4），根據(jù)新定義可得圖形W與圖形N之間的距離為d= 的最小值．利用二次函數(shù)的增減性求出d= 的最小值，就可解決問(wèn)題．