Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+a+2(a≠0)與x軸交于點A(x1，0)，點B(x2，0)，(點A在點B的左側)，拋物線的對稱軸為直線x=-1．

(1)若點A的坐標為(-3，0)，求拋物線的表達式及點B的坐標；

(2)C是第三象限的點，且點C的橫坐標為-2，若拋物線恰好經過點C，直接寫出x2的取值范圍；

(3)拋物線的對稱軸與x軸交于點D，點P在拋物線上，且∠DOP=45°，若拋物線上滿足條件的點P恰有4個，結合圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），（1，0）；（2）-1＜x2＜0；（3）a＜-2．

【解析】

（1）由題意可知拋物線的對稱軸為，求出b=2a，將點A的坐標代入拋物線的表達式，即可求解；

（2）根據題意可得點C在第三象限，即點A在點C和函數對稱軸之間，故-2＜x1＜-1，繼而進行分析即可求解；

（3）根據題意可得滿足條件的P在x軸的上方有2個，在x軸的下方也有2個，則拋物線與y軸的交點在x軸的下方，即可求解．

解：（1）拋物線的對稱軸為，解得：b=2a，

故y=ax2+bx+a+2=a（x+1）2+2，

將點A的坐標代入上式并解得：，

故拋物線的表達式為：；

令y=0，即，解得：x=-3或1，

故點B的坐標為：（1，0）.

（2）由（1）知：，

點C在第三象限，即點C在點A的下方，

即點A在點C和函數對稱軸之間，故-2＜x1＜-1，

而，即x2=-2-x1，

故-1＜x2＜0.

（3）∵拋物線的頂點為（-1，2），

∴點D（-1，0），

∵∠DOP=45°，若拋物線上滿足條件的點P恰有4個，

∴拋物線與x軸的交點在原點的左側，如下圖，

∴滿足條件的P在x軸的上方有2個，在x軸的下方也有2個，

則拋物線與y軸的交點在x軸的下方，

當x=0時，，

解得：a＜-2，

故a的取值范圍為：a＜-2．