Question

【題目】已知P為⊙O上一點，過點P作不過圓心的弦PQ，在劣弧PQ和優弧PQ上分別有點A、B(不與P、Q重合)，連接AP、BP，若∠APQ=∠BPQ

（1）如圖1，當∠APQ=45°，AP=1，BP=2時，求⊙O的半徑。

（2）如圖2，連接AB，交PQ于點M，點N在線段PM上（不與P、M重合），連接ON、OP，設∠NOP=α，∠OPN=β，若AB平行于ON，探究α與β的數量關系。

Answer 1

【答案】（1）；（2）α+2β=90°，見解析

【解析】

（1）連接AB，由已知得到∠APB=∠APQ+BPQ=90°，根據圓周角定理證得AB是⊙O的直徑，然后根據勾股定理求得直徑，即可求得半徑；

（2）連接OA、OB、OQ，由證得∠APQ=∠BPQ，即可證得OQ⊥ON，然后根據三角形內角和定理證得2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，，即可證得α+2β=90°．

（1）連接AB，

∵∠APQ=∠BPQ=45°，

∴∠APB=∠APQ+BPQ=90°，

∴AB是⊙O的直徑，

∴AB=，

∴⊙O的半徑為；

（2）α+2β=90°，

證明：連接OA、OB、OQ，

∵∠APQ=∠BPQ，

∴，

∴∠AOQ=∠BOQ，

∵OA=OB，

∴OQ⊥AB，

∵ON∥AB，

∴NO⊥OQ，

∴∠NOQ=90°，

∵OP=OQ，

∴∠OPN=∠OQP，

∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ=180°，

∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，

∴∠NOP+2∠OPN=90°，

∵∠NOP=α，∠OPN=β，

∴α+2β=90°．

【解答】

解：