Question

（2012•本溪）如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點(diǎn)B（-1，0）、C（3，0），交y軸于點(diǎn)A，將線段OB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)A的直線與x軸交于點(diǎn)D（4，0）．直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合，∠FEH=90°，EF∥HG，EF=EH=1．直角梯形EFGH從點(diǎn)D開始，沿射線DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為1個(gè)長度單位/秒，在運(yùn)動(dòng)過程中腰FG與直線AD始終重合，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以M、O、H、E為頂點(diǎn)的四邊形是特殊的平行四邊形；
（3）作點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，直線HG與對(duì)稱軸交于點(diǎn)K，當(dāng)t為何值時(shí)，以A、A′、G、K為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？請(qǐng)直接寫出符合條件的t值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）在直角梯形的平移過程中，四邊形MOHE可能構(gòu)成矩形（如答圖1所示），或菱形（如答圖2所示）；本問有兩種情形，需要分類求解，注意不要漏解，而且需要排除正方形的情形；
（3）本問亦有兩種情形，需要分類求解．當(dāng)直角梯形運(yùn)動(dòng)到△OAD內(nèi)部的情形時(shí)，如答圖3所示；當(dāng)直角梯形運(yùn)動(dòng)到△OAD外部的情形時(shí)，如答圖4所示．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3經(jīng)過點(diǎn)B（-1，0）、C（3，0），
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，解得a=-1，b=2，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3．

（2）在直角梯形EFGH運(yùn)動(dòng)的過程中：
①四邊形MOHE構(gòu)成矩形的情形，如答圖1所示：
此時(shí)邊GH落在x軸上時(shí)，點(diǎn)G與點(diǎn)D重合．
由題意可知，EH，MO均與x軸垂直，且EH=MO=1，則此時(shí)四邊形MOHE構(gòu)成矩形．此時(shí)直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度．
過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，則有FN=EH=1，F(xiàn)N∥y軸，
∴

FN

OA

=

DN

OD

，即

1

3

=

DN

4

，解得DN=

4

3

．
在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF=

FN2+DN2

=

12+( 4 3 )2

=

5

3

，
∴t=

5

3

；
②四邊形MOHE構(gòu)成正方形的情形．
由答圖1可知，OH=OD-DN-HN=4-

4

3

-1=

5

3

，即OH≠M(fèi)O，
所以此種情形不存在；
③四邊形MOHE構(gòu)成菱形的情形，如答圖2所示：
過點(diǎn)F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，交GH于點(diǎn)T，過點(diǎn)H作HR⊥x軸于點(diǎn)R．易知FN∥y軸，RN=EF=FT=1，HR=TN．
設(shè)HR=x，則FN=FT+TN=FT+HR=1+x；
∵FN∥y軸，∴

FN

OA

=

DN

OD

，即

1+x

3

=

DN

4

，解得DN=

4

3

（1+x）．
∴OR=OD-RN-DN=4-1-

4

3

（1+x）=

5

3

-

4

3

x．
若四邊形MOHE構(gòu)成菱形，則OH=EH=1，
在Rt△ORH中，由勾股定理得：OR²+HR²=OH²，
即：（

5

3

-

4

3

x）²+x²=1²，解得x=

4

5

，
∴FN=1+x=

9

5

，DN=

4

3

（1+x）=

12

5

．
在Rt△DFN中，由勾股定理得：DF=

FN2+DN2

=

( 9 5 )2+( 12 5 )2

=3．
由此可見，四邊形MOHE構(gòu)成菱形的情形存在，此時(shí)直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度，
∴t=3．
綜上所述，當(dāng)t=

5

3

s時(shí)，四邊形MOHE構(gòu)成矩形；當(dāng)t=3s時(shí)，四邊形MOHE構(gòu)成菱形．

（3）當(dāng)t=

35

12

s或t=

95

12

s時(shí)，以A、A′、G、K為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．
簡答如下：（注：本題并無要求寫出解題過程，以下僅作參考）
由題意可知，AA′=2．以A、A′、G、K為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則GK∥AA′，且GK=AA′=2．
①當(dāng)直角梯形位于△OAD內(nèi)部時(shí)，如答圖3所示：
過點(diǎn)H作HS⊥y軸于點(diǎn)S，由對(duì)稱軸為x=1可得KS=1，∴SG=KS+GK=3．
由SG∥x軸，得

AS

OA

=

SG

OD

，求得AS=

9

4

，∴OS=OA-AS=

3

4

，
∴FN=FT+TN=FT+OS=

7

4

，易知DN=

4

3

FN=

7

3

，
在Rt△FND中，由勾股定理求得DF=

35

12

；
②當(dāng)直角梯形位于△OAD外部時(shí)，如答圖4所示：
設(shè)GK與y軸交于點(diǎn)S，則GS=SK=1，AS=

3

4

，OS=OA+AS=

15

4

．
過點(diǎn)F作FN⊥x軸，交GH于點(diǎn)T，則FN=FT+NT=FT+OS=

19

4

．
在Rt△FGT中，F(xiàn)T=1，則TG=

4

3

，F(xiàn)G=

5

3

．
由TG∥x軸，∴

FT

FN

=

FG

DF

，解得DF=

95

12

．
由于在以上兩種情形中，直角梯形EFGH平移的距離均為線段DF的長度，則綜上所述，當(dāng)t=

35

12

s或t=

95

12

s時(shí)，以A、A′、G、K為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題是動(dòng)線型二次函數(shù)綜合題，圖形復(fù)雜，涉及考點(diǎn)較多，難度很大．
（1）本題后兩問均有兩種情形，注意分類討論思想的應(yīng)用，避免丟解；
（2）讀懂題意是解決第（2）問的先決條件．特殊平行四邊形包括菱形、矩形和正方形．以此為基礎(chǔ)，對(duì)直角梯形平移過程中的運(yùn)動(dòng)圖形進(jìn)行認(rèn)真分析，探究在何種情形下可能構(gòu)成上述的特殊平行四邊形？
（3）對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)過程的分析與求解是解題的要點(diǎn)，也是難點(diǎn)．復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過程為解題增加了難度，注意分清各種運(yùn)動(dòng)過程中的圖形形狀；
（4）在圖形計(jì)算求解過程中，既可以利用相似關(guān)系，也可以利用三角函數(shù)關(guān)系．同學(xué)們可探討不同的解題方法．